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invariante rispetto al gruppo la congiungente reale dei due punti, la quale potrà 

 essere o secante (tangente) o esterna alla sfera. Nel primo di questi due ultimi casi, 

 poiché noi consideriamo soltanto gruppi continui propri (cioè generati completamente, 

 nell'intorno di ogni punto generico, da trasformazioni infinitesime), saranno unite le 

 intersezioni della retta invariante colla sfera e ricadranno in un sottogruppo del G T 

 ricordato sopra. Nel secondo caso, invece, il gruppo trasformerà in se il piano S 2 , 

 polare della retta invariante rispetto alla sfera, e poiché codesta retta è esterna 

 alla sfera, il piano S. 2 segherà la sfera secondo un cerchio reale che sarà trasfor- 

 mato in se dal gruppo. 



Possiamo quindi enunciare il 



Teorema. Ogni gruppo proiettivo reale che trasformi in sé una sfera di S 4 e non 

 coincida col gruppo totale a dieci parametri, lascia fermo un punto reale o sulla sfera 

 o dentro o fuori di essa, oppure ammette una retta invariabile esterna alla sfera e 

 lascia quindi fermo su di essa un cerchio reale. 



5. — Per determinare i tipi di gruppi proiettivi reali della sfera di S 4 , noi 

 dovremo ora classificare i sottogruppi dei quattro gruppi or ora indicati e poi discu- 

 teremo quali di essi siano fra loro equivalenti dentro il G 10 totale. 



Prima, per altro, facciamo alcune osservazioni; ed anzitutto notiamo che il 

 gruppo co 4 , che lascia ferma una retta S t esterna alla sfera e un cerchio C su di 

 essa, si ottiene combinando il gruppo co 1 G x della sfera, che ammette come piano di 

 punti uniti lo S. 2 del cerchio C (e quindi subordina sulla retta invariante S t un 

 gruppo co 1 a punti uniti complessi coniugati) col gruppo co 3 semplice G 3 , che ammette 

 come retta di punti uniti la retta S x (e quindi subordina sulla circonferenza C il 

 gruppo proiettivo totale oo 3 ); e codesti due gruppi G t , G 3 sono fra loro manifesta- 

 mente commutabili. Ora si ha anzitutto che ogni sottogruppo del nostro G it il quale 

 non subordini sulla retta Sj il gruppo oo 1 , o non subordini sul cerchio C l'intero 

 gruppo co 3 , ammette necessariamente un punto unito o esterno alla sfera o su di 

 essa, e quindi rientra come sottogruppo o nel G 6 che lascia fermo un punto esterno 

 alla sfera, o nel 6? 7 che ammette un punto invariante su di essa. 



AU'infuori di codesti sottogruppi il nostro (? 4 non può contenere se non dei 

 sottogruppi co 3 r s , i quali subordinino sulla retta S t il gruppo co 1 e sulla circon- 

 ferenza C il gruppo totale co 3 , in quanto siano ottenuti, associando a ogni trasfor- 

 mazione S' del G 1 co 2 trasformazioni T' di G 3 , per modo che, al variare di S r 

 entro G x , le corrispondenti T' descrivano l'intero G 3 . Ma, data la commutabilità 

 di G-i e G 3 e tenuto conto del fatto che G 3 è semplice, si conclude facilmente che 

 un tale gruppo l~ 3 non può sussistere. 



Consideriamo all'uopo le co 2 trasformazioni T di G 3 che nel nostro l" 3 dovrebbero 

 essere associate alla trasformazione identica di G x . Esse evidentemente debbono for- 

 mare di per se un gruppo co 2 T 2 ed è facile vedere di più che codesto gruppo co 2 

 dovrebbe essere un sottogruppo invariante di G 3 , il che è assurdo in quanto il G s 

 è semplice. E invero, presa entro G 3 una qualsiasi trasformazione T 1; non apparte- 

 nente al gruppo l~ 2 delle T, esisterà necessariamente in G ± una trasformazione Sj , 

 tale che la S^ appartenga al r 3 . Apparterrà al l~ 3 anche la trasformata della T 

 per mezzo della S 1 T 1 , cioè la 



