9 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 319 



la quale, data la commutabilità di G 1 e G 3 , si riduce alla 



T x TTc l \ 



onde si conclude che la trasformata di ogni trasformazione T (associata alla identità 

 di G x ) per mezzo di una qualsiasi trasformazione di G 3 , è essa stessa una trasfor- 

 mazione T; cioè, appunto come dicemmo dianzi, le co 2 trasformazioni T dovrebbero 

 formare un sottogruppo invariante di G 3 , il che è assurdo. 



Concludendo, ogni sottogruppo del nostro 6? 4 è pur contenuto come sottogruppo 

 o nel G 6 del punto esterno o nel G 7 del punto unito sulla sfera. 



Circa i gruppi co 6 , che lasciano fermo un punto esterno o interno alla sfera, 

 osserviamo che essi subordinano negli S s polari, rispetto alla sfera, del relativo punto 

 unito il gruppo proiettivo totale di una sfera (a equazione reale) rispettivamente 

 reale o immaginaria; cosicché, immaginando stabilita in ciascuno di codesti spazi a 

 tre dimensioni, o nella stella di S i che lo proietta dal punto unito isolato, una de- 

 terminazione metrica alla maniera del Cayley, che ammetta come quadrica fonda- 

 mentale codesta sfera, potremo interpretare i gruppi oo 6 suindicati come gruppi di 

 movimenti non euclidei, rispettivamente iperbolici od ellittici. 



Quanto, infine, al gruppo G-, , che ammette un punto unito fisso sulla sfera, con- 

 sideriamo per un momento il gruppo conforme dello spazio ordinario, che, come è 

 ben noto, si ottiene rappresentando stereograficamente (da un punto P della sfera 

 invariante in S 4 su di uno S 3 parallelo all'iperpiano tangente in P alla sfera) il 

 gruppo co 10 , che è subordinato sulla sfera dal G 10 totale. Se come centro della proie- 

 zione scegliamo il punto unito fisso dal nostro 6? 7 , noi avremo che a questo corri- 

 sponde in S 3 il gruppo conforme oo 7 , che trasforma in sé il piano all'infinito, cioè 

 il gruppo oo 7 dei movimenti euclidei e delle similitudini. 



Dopo di che possiamo concludere che, all'infuori del gruppo reale conforme co 4 

 corrispondente al gruppo proiettivo di S± che lascia ferma la sfera e una retta ad essa 

 esterna, ogni gruppo conforme reale dello spazio ordinario o è equivalente, dentro il 

 gruppo conforme totale, a un gruppo di movimenti euclidei e di similitudini, oppure è 

 simile ad un gruppo di movimenti non euclidei. 



ILI. — Gruppi reali di movimenti 

 dello spazio iperbolico a tre dimensioni. 



6. — Dovendo oramai passare alla discussione dettagliata dei gruppi reali della 

 sfera di <S 4 , noi, immaginando di riferirci ad un sistema di coordinate cartesiane 

 ortogonali, assumeremo come sfera invariante la 



(5) x\ + x\ + x\ + x\ — 1 = 0, 



il cui gruppo proiettivo è generato dalle dieci trasformazioni infinitesime 



( X x p 2 — X 2 p lt X t p 3 — X 3 p lt Xtfi — Xip u X 2 p 3 — X 3 p % , X 2 pi — Xip 2 , XsPi — x<$ 3 



(6) 



( Pi — x x TJ, p 2 — x 2 U, p 3 — x 3 U, p A — xJJ 



