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dove si è posto, secondo l'uso, 



Pi = -^7 (i = 1, 2, 2, 4) ; U — x^ + x 2 p 2 + a; 3 p3 + xtpt. 



Cominciamo dal considerare i gruppi che lasciano fermo un punto esterno alla 

 sfera e come tipo di siffatti gruppi assumiajno il 6? 6 che trasforma in se il punto 

 all'infinito dell'asse delle a? 4 e quindi lo S 3 polare # 4 = 0. È questo il gruppo ge- 

 nerato dalle trasformazioni infinitesime 



( *li>2 — %2Pl, %lPì — %sPu X 2 p 3 — X s p 2 



(7) 



l Pi— x x U, p 2 — x 2 TJ, p 3 — x 3 U; 



il quale nello iperpiano invariante x± = subordina il gruppo proiettivo totale della 

 sfera ordinaria reale 



1 = 0, 



(8) 





X\ -\- x 2 -j- x 3 



cioè il <jr 6 







(9) 





t x x p 2 — x 2 p r , x r p 3 - 

 { 2>i — x iU, Pi - 



dove abbiamo 



posto 





%2 U, p 3 — x 3 U 

 U= x x p x -\- x 2 p 2 ■+ x 3 p 3 . 



Per determinare i sottogruppi di (7) basterà che noi classifichiamo i sottogruppi 

 del g 6 (9); ed è appunto questo il problema, di cui ora ci occuperemo. 



A tale scopo noi seguiremo la via analoga a quella tenuta nel § I per deter- 

 minare i sottogruppi del gruppo 6r 10 di una quadrica in 5 4 . Distinguiamo dunque i 

 gruppi integrabili dai non integrabili e, cominciando da questi ultimi, cerchiamo anzi- 

 tutto, in base al teorema dell'ENGEL, i gruppi semplici oo 3 reali. 



Come risulta dal teorema dello Study (§ I), ogni gruppo proiettivo oo 3 semplice 

 dello spazio ordinario è riducibile ad uno dei quattro tipi seguenti ( J ) : 



a) gruppo della cubica sghemba ; 



b) gruppo con un punto unito e una conica invariante in un piano non pas- 

 sante per quello ; 



e) gruppo che lascia ferme tutte le generatrici di un sistema su di una quadrica ; 



d) gruppo che ammette una retta unita e una retta di punti uniti sghemba 

 alla prima. 



Ora il primo di codesti gruppi oo 3 non trasforma in sé nessuna quadrica. Il 

 secondo invece ammette tutto un fascio di quadriche invarianti, le quali sono tutte 

 tangenti fra loro lungo la conica fissa. Un sottogruppo siffatto del nostro g 6 si ot- 

 tiene fissando un punto non appartenente alla sfera (8), ed anzi si hanno due tipi 

 diversi di gruppi semplici oo 3 , secondo che il punto fisso è interno o esterno alla 



l 1 ) Cfr. la Memoria cit. del Fano, pag. 209. 



