11 I GRUPPI CONTINUI BEALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 321 



sfera. Dei gruppi a punto fisso interno possiamo scegliere come tipo il gruppo delle 

 rotazioni della sfera intorno al suo centro: 



(10) x t p 2 — x 2 p u xips — xtfi., x 2 p 3 — x 3 p 2 . 



E pei gruppi che ammettono un punto invariante esterno assumeremo a tipo il 

 gruppo che lascia fermo il punto all'infinito dell'asse x 3 (e quindi il piano x s = 0) 



(11) X x p 2 — x 2 p u pi — xjj, p 2 — x 2 U. 



Quanto al gruppo semplice oo s e), che deve trasformare in se ogni generatrice 

 di un sistema della sfera, si tratta manifestamente di un gruppo immaginario e pos- 

 siamo senz'altro escluderlo. 



E infine i gruppi semplici del tipo d) non possono trasformare in sé una sfera 

 reale, giacche un gruppo reale che ammetta una cotale sfera invariante e trasformi 

 in se due rette sghembe, lascia fermo necessariamente un punto della sfera ed è inte- 

 grabile. 



Eesta ora da vedere se i due gruppi semplici oo 3 dianzi determinati possano 

 essere contenuti in sottogruppi del g e più ampi. 



Ad un gruppo co* non possono appartenere ne l'uno né l'altro, in quanto un 

 tal gruppo dovrebbe contenere il gruppo co 3 come invariante e quindi ammettere 

 come punto unito il punto unito isolato di esso, mentre non esistono più di co 3 

 proietti vita che trasformino in sé la sfera e un punto interno o esterno ad essa. 

 E quanto ai gruppi co 5 , un tal gruppo (non integrabile) dovrebbe contenere co 2 

 gruppi semplici co 3 equivalenti e, quindi, ammettere come superficie invariante il 

 luogo dei punti uniti isolati (tutti interni o tutti esterni alla sfera) di codesti co 2 

 sottogruppi ; e questa superficie, dovendo essere invariante anche rispetto ad un sot- 

 togruppo co 3 semplice generico, non potrebbe esser distinta dal cono circoscritto 

 comune a tutte le quadriche invarianti, il che è assurdo, in quanto il vertice di un 

 tal cono dovrebbe essere unito per tutto il gruppo. 



Non abbiamo quindi altri sottogruppi di g e non integrabili, oltre i due gruppi co 3 

 semplici (10) e (11). 



7. — Quanto ai gruppi integrabili, sappiamo che ciascuno di essi deve lasciar 

 fermo un punto P, una retta r per P, un piano tt per r. 



Ora se il punto P è reale e non giace sulla sfera invariante, il gruppo integra- 

 bile non può essere che un sottogruppo di uno dei due gruppi semplici co 3 (10) e 

 (11). Il gruppo (11), che trasforma in sé il piano x s =0, subordina sulla circonfe- 

 renza sezione della sfera con codesto piano, un gruppo co 3 oloedricamente isomorfo 

 al gruppo proiettivo totale sulla retta, cosicché per avere un suo sottogruppo reale 

 dovremo fissare su codesta circonferenza uno o due punti reali, oppure due punti 

 complessi coniugati, nel quale ultimo caso si ottiene un gruppo co 1 di rotazioni, che 

 lascia pur fermi due punti reali sulla sfera. 



E nel caso del gruppo (10) delle rotazioni, basta considerare il gruppo co 3 su- 

 bordinato sul cerchio immaginario all'infinito per convincersi che non vi sono altri 

 sottogruppi reali oltre i gruppi co 1 di rotazioni, che ammettono due punti uniti 

 sulla sfera. 



Serik II. Tom. LV. p 1 



