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Un punto reale unito sulla sfera si ha anche se il punto P della configurazione 

 invariante (P, r, n) del gruppo integrabile, è immaginario, perchè in tal caso è unito 

 anche il suo coniugato P' e restan ferme la retta reale PP' e la sua polare reci- 

 proca, ed una di queste rette interseca la sfera in due punti reali che (esclusi i 

 gruppi misti) sono uniti. 



Possiamo quindi concludere che ogni gruppo proiettivo integrabile della sfera di S 3 

 ammette un punto unito fisso sulla sfera invariante. 



A questo punto noi ci potremmo arrestare, in quanto, passando al (r 10 di S 4 , i 

 gruppi che lascian fermo un punto sulla sfera invariante (i quali, come sappiamo, 

 danno luogo nella proiezione stereografica sullo spazio ordinario a gruppi di movi- 

 menti euclidei e di similitudini) saranno da noi trattati a parte. Tuttavia, poiché 

 siamo giunti a questo punto, non mi sembra inutile condurre a termine la discus- 

 sione, per poter assegnare, sia pure in via di digressione, il quadro completo dei 

 gruppi reali di movimenti dello spazio iperbolico. ; ~-^'^^' ? llBllÌ 



8. — Fissato in S 3 sulla sfera (8) il punto 0, 0, 1, troviamo che il gruppo cor- 

 rispondente è generato dalle quattro trasformazioni infinitesime ( x ) . W$ pj] 



%lP2— %2Pl, X x p i — X % p x J r f 1 XjU, X 2 p 3 .* 3 P2+Ì>2 «2*7, p 3 — X 3 U, 



che indicheremo per brevità con X lt X 2 , X 3 , X 4 rispettivamente. Si ha 

 (X 1 X 2 )=-X 3 , (X X X 3 ) = X 2 , (X 1 X 4 ) = 0, (X 2 X 3 )=0, (X 2 X i )=X 2 , (X 3 X i )=X 3 ; 



cosicché intanto il nostro # 4 ammette come sottogruppo oo- 2 invariante il suo deri- 

 vato X 2 , X 3 , cioè 



x x p 3 — x 3 p x + p x — xJJ, x 2 p 3 — x B p 2 -\-p 2 — x 2 U; 

 e il più generale sottogruppo co 3 invariante sarà dato da ( 2 ) 



%ip2 — %Fi + Pi — %iÙ, x 2 p 3 — x 3 p 2 -\- p 2 —x 2 U, a(x x p 2 — x 2 p x ) -f- b(jp 3 — x 3 U), 



dove a : b è un parametro arbitrario. 



Se, ricorrendo alla notissima rappresentazione del Lie, assumiamo i parametri 

 e x , e 2 , e 3 , e 4 delle trasformazioni infinitesime e x X x -\- e 2 X 2 -\- e 3 X s -\- e 4 X 4 del nostro 

 gruppo come coordinate di uno spazio S 3 a tre dimensioni, avremo che codesti 

 gruppi oo 3 saranno rappresentati dai piani passanti per la retta X 2 X 3 (e x = e 4 = 0) 

 e, poiché si tratta di sottogruppi invarianti, ciascuno di codesti piani sarà trasfor- 



( 1 ) A pag. 479 delle Vorles. iiber cont. Or. di Lie-Scheffeks è analogamente determinata la 

 composizione del gruppo p, xp, q, yq, ohe è equivalente alla composizione del nostro # t nel campo 

 complesso, non per altro nel campo reale. 



( 2 ) Lie-Scheffess, Vorlesungen iiber contimrìerliclie Gruppen, pag. 544, Satz 29. 



