13 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 323 



mato in se stesso dal gruppo aggiunto del nostro </ 4 . Codesto gruppo aggiunto è 

 generato dalle traformazioni infinitesime 



nm bf , bf bf bf bf bf bf , bf 



v ' z òe 2 ' de 3 ' ò«3 df.' d<? 2 oe 3 ' be 3 ' ,de 2 ' 



onde risulta, in primo luogo, che sulla retta invariante X 2 X 3 il gruppo aggiunto 

 subordina un gruppo oo 1 , avente i due punti uniti immaginari coniugati X 2 ±iX s , 

 cosicché tutti i gruppi oo 1 reali rappresentati dai punti di codesta retta sono trasfor- 

 mabili gli uni negli altri mediante trasformazioni (reali) del gruppo aggiunto, ossia 

 sono equivalenti dentro il nostro y±. 



In secondo luogo si verifica agevolmente che il gruppo aggiunto (12) non am- 

 mette altre forme reali invarianti all'infuori della retta X 2 X 3 . Di qui discende che i 

 soli sottogruppi oo 3 del nostro g é sono i sottogruppi invarianti determinati sopra. 



Infatti se esistesse un sottogruppo reale oo 3 non invariante, esso sarebbe rap- 

 presentato da un piano non passante per la retta X 2 X 3 e codesto piano verrebbe 

 trasformato dal gruppo aggiunto in oo 1 piani al più, i quali dovrebbero inviluppare 

 una varietà reale invariante rispetto al gruppo aggiunto. 



Quanto ai sottogruppi 'oo 2 , ciascuno di essi è rappresentato da una retta. Sic- 

 come il gruppo derivato dal nostro g± è dato da X 2 , X 3 , avremo che se un gruppo oo 2 

 non è commutabile, avrà come gruppo derivato una combinazione lineare di X 2 e X 3 

 e quindi la sua retta immagine sarà incidente alla X 2 X 3 ; e, poiché tutti i punti 

 della X 2 X 3 sono equivalenti rispetto al gruppo aggiunto, potremo supporre che la 

 retta rappresentativa passi pel punto e 1 = e 3 = e 4 =0; ossia che il nostro gruppo oo 2 

 sia della forma 



X 2 , aXj + bX 3 -f- cX 4 , 



Dalla 



(X 2 , aX, + bX s + cX 4 ) = aX 3 + cX 2 , 



risulta a = 0, e =H ; onde si ottiene una retta qualsivoglia passante per X 2 e gia- 

 cente nel piano X 2 X 3 X i (e 1 = 0). Ora in codesto piano ogni retta, come si verifica 

 immediatamente, rappresenta un gruppo oo 2 , e codeste oo 2 rette, eccettuata la retta 

 invariante X 2 X 3 , sono tutte fra loro equivalenti rispetto al gruppo aggiunto, perchè 

 se una di esse assumesse per fatto del gruppo aggiunto soltanto oo 1 posizioni diverse 

 invilupperebbe una curva (o un punto reale) invariante, il che non può essere. Pos- 

 siamo quindi assumere come tipo di codesti gruppi co 2 il gruppo X 2 , X 4 , cioè: 



ViPs — %3Pi + Pi — %i U, p 3 — x 3 U. 



Considerando in secondo luogo i gruppi oo 2 commutabili, formiamo l'alternata di 

 due trasformazioni infinitesime: 



e x X, + e 2 X 2 + e 3 X 3 + e.X, , e ì .'X 1 + e 2 'X 2 + e 3 'X 3 + e 4 'X 4 . 



