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Indicando al solito con p mn le coordinate della retta congiungente i due punti 

 (e T ) (e' s ), si trova che le condizioni, perchè quelle due trasformazioni infinitesime siano 

 commutabili, sono date da 



P12 —i'sé = 0, p 13 — p i2 = 0. 



Dunque l'insieme delle rette che rappresentano gruppi oo 2 commutabili costituisce 

 una congruenza, la quale, come è facile verificare, ammette come direttrici le due 

 rette immaginarie coniugate che congiungono i due punti uniti 0, 1, ± i, della retta 

 invariante coi due punti 1, 0, 0, ±i rispettivamente. Di rette invarianti, in codesta 

 congruenza, non c'è che la X 2 X 3 , e tutte le altre sono equivalenti, perchè non esiste 

 nessuna rigata (e nessuna stella reale) invariante. Possiamo quindi prendere come 

 rappresentante del tipo dei gruppi co 2 commutabili il gruppo X u X é (rappresentato 

 dalla congiungente i due punti 1, 0, 0, + i) cioè: 



x±p 2 %%Pl , Pi X 3 U. 



Quanto, infine, ai gruppi oo 1 , un punto non appartenente alla retta X 2 X 3 può 

 essere portato in un punto qualsivoglia del piano che lo proietta da X 2 X 3 , cosicché 

 si può assumere come tipo il gruppo aX-,_-\- èX 4 , cioè: 



a(x x p 2 — x 2 pi) + b(p 3 — x s V) ; 



mentre poi a rappresentare i gruppi oo 1 , equivalenti fra loro, che hanno l'immagine 

 sulla retta invariante possiamo scegliere il gruppo X 2 , cioè 



Xrfs — x 3 p! + p t — xjj. 



9. — Raccogliamo i tipi di gruppi determinati nei nn. preced. nella seguente 

 tabella. 



Gruppi proiettivi reali della sfera x\ -\- x\ -f- x\ — 1. 



X\Vì — X2P1, %iPs — %sPi, X2P3 — x 3 p 2 , Pi — xj, U, p 2 — x 2 U, p 3 — x 3 U 





«1P2 — X2P1, Pi — »i u, 



p 2 — x 2 U 













%lP2 — afePi, x<p 3 — x 3 p u 



K 2 P% — %?>2 



x 1 p 2 — x 2 p u x x p 3 — x 3 p x -\-Pi-x-L U, x 2 p 3 — x 3 p 2 -\-p 2 — x 2 U, p 3 - 



-x 3 U 





X1P3 — Z3P1 + Pi — X\ U, x 2 p 3 — x 3 p 2 + p 2 — x 2 U, a{x t p 2 — x 2 p x ) -\-b{p 3 - 



-x 3 U) 



