15 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 325 





] x<Ps — Z3P1 + Pi - 



-x-JJ, p 3 — x 3 U 













x{P 3 



— Z3P1 + Pi — xjr, 



x 2 p 3 — x 3 p 2 -f p 2 



— x 2 U 



x 1 p 2 — x 2 p 1 , p 3 ~x 3 U 



a{xrfh — flJgPi) + à(p 3 — x 3 U) 



X1P3 — %Pi + Pi — x x U 



IO. — Torniamo al G 6 di S A che lascia fermo un punto esterno alla sfera inva- 

 riante. Come abbiamo già notato, possiamo qui lasciar da parte quei suoi sottogruppi 

 che ammettono un punto unito sulla sfera: tali sono tutti i gruppi che subordinano 

 nello $ 3 unito x 4 =0 gruppi integrabili (e sono quindi integrabili essi stessi), ed è 

 tale altresì il gruppo che subordina in codesto spazio il gruppo co 3 delle rotazioni, 

 in quanto ammette come punti uniti sulla sfera i punti 0, 0, 0, -+- 1. Dopo di che 

 concludiamo che i gruppi proiettivi reali di S 4 che trasformano in sé la sfera : 



x\ + x\ + xl + x\ — 1 = 



e lasciano fermo un punto esterno ad essa e nessun punto sulla superficie, sono equiva- 

 lenti dentro il gruppo totale della sfera ad uno dei due gruppi seguenti (che ammettono 

 come punto invariante il punto all'infinito dell'asse # 4 ) 



XiPì— x 2 p x , x 1 p 3 ~x 3 p 1 , x 2 p 3 —x 3 p 2 , Pi—xJJ, p 2 —x 2 U, p 3 — x 3 U 



[I] 



dove al solito 



XiPt — XìPu Pi — xJJ, p 2 —x 2 U 



U= x y p x -f x 2 p 2 + x 3 p 3 + XjPì. 



IV. — Gruppi reali di movimenti dello spazio ellittico 

 a tre dimensioni. 



11. — Ci dobbiamo ora occupare dei gruppi proiettivi reali di S A che trasfor- 

 mano in sé la sfera 



(5) 



x\ + x\ -f- xl -f xl — 1 = 



e ammettono un punto unito fisso interno ad essa. Come tipo del più ampio gruppo 

 siffatto assumeremo il gruppo G\ delle rotazioni della sfera (5) intorno al suo centro, 

 le cui trasformazioni infinitesime generatrici sono : 



(13) XtPs — XzPi, XìPa — XsPi, x 2 p 3 —x 3 p 2 , x^ — x^, x$ 2 — x 2 p±, x$ 3 — x 3 p„. 



