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Codesto gruppo subordina nella stella di centro nell'origine (e nell'iperpiano all'infi- 

 nito) un gruppo co 3 , di cui le (13) si possono interpretare come le trasformazioni 

 infinitesime generatrici in coordinate omogenee. 



Se in codesta stella o addirittura nello S 3 all'infinito scegliamo come coordinate 



non omogenee le — , — — , — e le indichiamo ancora con x u x 2 , x 3 , avremo che le 



Xl, #4 £4 



trasformazioni infinitesime (13) diventano rispettivamente (*) 



(14) 3 ' X&2 — x 2 p u x 1 p 3 — x 3 p 1 , x 2 p 3 — x 3 p 2 , Px+xjj, p 2 +x 2 U, p 3 + x 3 U 



dove ancora U = x{p^ -f- x 2 p 2 -(- x 3 p 3 ; e codeste sei trasformazioni infinitesime tras- 

 formeranno in se l'equazione 



(!5) ESSISI i tf 4- *i + «S + 1 = o ; 



dell'assoluto^ della stella [e dello S 3 improprio (ellittico) di S 4 . È del g' e generato 

 dalle (14) che noi ora cercheremo i sottogruppi, interpretandolo, naturalmente, come 

 il gruppo proiettivo, in uno spazio euclideo a tre dimensioni, della sfera immagi- 

 naria (15). ; ;.in g KÓ 



12. — Seguiamo la solita via e, cominciando dai gruppi non integrabili e anzi- 

 tutto dai gruppi semplici co 3 e riferendoci a quanto dicemmo al n. 6, notiamo che, 

 escluso il gruppo della cubica sghemba, si presenta qui di nuovo, per quanto riguarda 

 il tipo b) del n. citato, il gruppo delle rotazioni intorno all'origine. 



In secondo luogo, per quel che riguarda il tipo e) di gruppi semplici co 3 , osser- 

 viamo che ciascuna delle due serie di generatrici della sfera immaginaria (rette im- 

 maginarie di seconda specie) contiene con ogni generatrice la sua coniugata, cosicché 

 può esistere un gruppo reale che lasci ferme tutte le generatrici di un solo sistema. 

 Otteniamo così (a seconda che teniamo fisse le generatrici della prima o della seconda 

 serie) i due ben noti gruppi degli scorrimenti di Clifford. 



Per determinare le trasformazioni infinitesime del gruppo degli scorrimenti di 

 prima specie basta notare che le generatrici del primo sistema della (15) sono de- 

 finite dalle 



( x x -4- ixo — X(a> 3 -4- i) = 



(16) 



( X(* 1 — ix 2 ) -j- x 3 — i = 



dove X. è il parametro arbitrario; onde, se un punto si muove su di una generatrice, 

 le variazioni bx t delle sue coordinate debbono soddisfare alle relazioni: 



1 \ 



2bx 1 = ( X — -i- ; bx 3 

 2ibx 2 = ( X -4- — ) bx 3 . 



Cfr. Lie-Engel, Op. cit., voi. I, pag. 579. 



