17 I GRUPPI CONTINUI BEALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 327 



Allora designate le trasformazioni infinitesime (14) ordinatamente con X x , X 2 , ..., 

 X e , e sostituiti in codeste relazioni gli incrementi che alle coordinate di un punto 

 imprime la trasformazione generica 



Ì s e s X s , 

 i 



si trova che le condizioni affinchè tutte le generatrici del sistema (16) siano inva- 

 rianti sono date da: 



«i+ «6= «2 — e 5 = e 3 -\- e i = 0, 



cosicché si conclude che le trasformazioni infinitesime del gruppo oo 3 degli scorri- 

 menti di prima specie sono: 



/ x{p 2 — x 2 Pi — P3 — x 3 TJ 



(17) ì x 2 p s — x s p 2 — p t — x x U 



[ x 3 p 1 — x{p % — p 2 —x 2 U. 



Per avere le trasformazioni infinitesime del gruppo degli scorrimenti di seconda 

 specie basta sostituire al sistema (16) di generatrici l'altro sistema (basta cambiar 

 segno ad x 2 ) e si ottengono così le trasformazioni infinitesime: 



ÌXiPì — x 2 p 1 -\- p 3 + x z TJ 

 x 2 p % ~x z p 2 ^ r p l ^ r x 1 TJ 

 % s Pi — x x p 3 + p 2 -\-x 2 U; 



e se, come si è già detto, ci limitiamo alla considerazione di gruppi continui proprii, 

 i due gruppi co 3 precedenti si dovranno considerare come appartenenti a due tipi 

 distinti. 



Restano da ultimo i gruppi del tipo d): ma non v'è difficoltà a convincersi che 

 non esiste nessun gruppo co 3 semplice reale che trasformi in sé la sfera immagi- 

 naria (15) e due rette sghembe (di cui una costituita di punti uniti). 



Determinati così i gruppi semplici co 3 , dobbiamo cercare se esistano in g\ 

 gruppi non integrabili a più di tre parametri. 



Il gruppo semplice oo 3 delle rotazioni intorno all'origine è il più ampio gruppo 

 che lasci fermo codesto punto, cosicché non può essere contenuto come sottogruppo 

 invariante in nessun gruppo più ampio, quindi, in particolare, in nessun gruppo oo 4 

 non integrabile. — Né d'altra parte il gruppo delle rotazioni può appartenere come 

 sottogruppo ad un gruppo non integrabile oo 6 , perchè questo dovrebbe contenere oo 2 

 gruppi °oo s equivalenti ad esso e quindi trasformare in sé la superficie luogo dei loro 

 punti uniti isolati ; cosicché questa superficie dovrebbe essere invariante anche rispetto 

 al gruppo delle rotazioni e nello stesso tempo contenere il centro di rotazione, il che 

 è impossibile. 



Se invece consideriamo un g\ di scorrimenti (il quale è dato da tutte le trasfor- 

 mazioni che lasciali ferme tutte le generatrici di un sistema della sfera immaginaria) 



