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otterremo un gruppo reale oo 4 che lo ammette come invariante, combinando con esso 

 un gruppo reale oo 1 sulla serie delle sue generatrici invarianti, il quale lascierà ferme 

 in codesto sistema due generatrici coniugate; cosicché, in definitiva, un tal gruppo oo 4 

 non integrabile si ottiene considerando tutte le trasformazioni che ammettono come 

 rette invarianti due generatrici coniugate (le quali, come è notorio ed abbiamo già 

 ricordato, appartengono in questo caso allo stesso sistema) e trasformano quindi in 

 se la congruenza rettilinea lineare reale che ha codeste due rette come direttrici 

 (congruenza di Clifford). 



Analogamente, per avere un gruppo non integrabile oo 5 , bisognerebbe combinare 

 un gruppo di scorrimenti con un gruppo oo 2 sulla serie delle generatrici invarianti 

 per quello ; ma codesto gruppo oo 2 , dovendo lasciar ferma una sola generatrice (im- 

 maginaria), sarebbe immaginario; cosicché nel nostro g' e non esistono gruppi non 

 integrabili oo 5 reali. 



Quanto al gruppo non integrabile oo 4 , per averne le trasformazioni infinitesime 

 basta ripetere il calcolo fatto dianzi fissando un valore determinato pel parametro \ 

 delle generatrici; per \ = 1, cioè fissata la generatrice x{=i, # 2 = — ix 3 (e quindi 

 la coniugata x x = — i, x 2 = ix 3 ) si trova corrispondentemente al gruppo degli scor- 

 rimenti di prima specie il gruppo oo 4 



X1P2 — x 2 p t — p 3 — x 3 U 



x 3 Pi — XxP 3 — p 2 —x 2 U 



x 2 Ps — X3P2, Pi + ®i u. 



Così, a tipo di un gruppo oo 4 che contiene come sottogruppo invariante gli scor- 

 rimenti di seconda specie, possiamo assumere il gruppo : 



«1P2 — »g?i + Pz + X3U 

 x 3 p x — x x p 3 -f p 2 + x 2 U 

 x 2 p 3 — x 3 p 2 , Pt+xjj. 



13. — Determinati tutti i gruppi non integrabili, passiamo agli integrabili. Un 

 gruppo integrabile reale lascia necessariamente fermo o un piano reale (e un punto 

 reale su questo) o una retta reale. Se si sceglie come piano fisso il piano x 3 = 0, 

 non resta che il gruppo a un parametro di rotazioni: 



XiPi — ^Pi- 

 Se si fissa invece la retta x 1 = x 2 = resterà ferma anche la retta coniugata 

 rispetto alla quadrica fondamentale (cioè la retta impropria del piano x 3 = 0) e si 

 ottiene il gruppo commutabile: 



(19) x x p 2 — a> 2 Pi, Ps + VìU, 



il cui sottogruppo generico è, ove a : b indichi un parametro reale arbitrario, 



(20) a(x{p 2 — xzp-ò + b{p 3 + xjf). 



