19 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 329 



Possiamo notare che il gruppo oo 2 commutabile (19) contiene due gruppi co 1 

 di scorrimenti, gli uni destrorsi, gli altri sinistrorsi, 



x 1 p 2 — x 2 p 1 — p 3 — x 3 Tf e xtf 2 — x 2 Pì + p 3 -f x 3 U, 



i quali lasciano ferme tutte le generatrici del primo e del secondo sistema rispetti- 

 vamente, mentre subordinano, ciascuno, nel sistema delle generatrici non invarianti 

 un gruppo oo 1 , avente due generatrici unite. Onde risulta, data la commutabilità dei 

 due gruppi di scorrimenti, che il gruppo oo 2 lascierà ferme sulla sfera immaginaria 

 il quadrilatero sghembo formato dalle due coppie di generatrici, che sono rette inva- 

 rianti isolate pei due gruppi di scorrimenti: restano cioè ferme le due coppie di 

 rette coniugate : 



x x = ± i , a? 2 = "t - ix 3 e #! = ± i , #2 — ± ix 3 ; 



cosicché il gruppo oo 2 trasforma in sé tutte le quadriche, costituenti un fascio, 

 che hanno comuni colla quadrica fondamentale codeste quattro generatrici, cioè le 

 quadriche: 



u(xi + l) + v(x? + ^) = 0, 



dove u : v è un parametro arbitrario. Si riconosce così, in altre parole, che il gruppo co 2 

 suindicato non è altro che il gruppo dei movimenti dello spazio ellittico che trasfor- 

 mano in sé una (e quindi oo 1 ) superficie di Clifford ( x ). 



Il sottogruppo generico (20) di codesto gruppo oo 2 non è se non un movimento 

 elicoidale dello spazio ellittico (i cui assi sono, nella rappresentazione sullo spazio 

 euclideo, la retta x 1 =x%= e la retta impropria del piano # 3 =0), cosicché le sue 

 traiettorie coincidono con le curve considerate dal Lindemann sotto il nome di eliche 

 proiettive ( 2 ). 



(') Klein, Nicht-Euklidische Geometrie, II, pag. 232; Fano, Lezioni di geometria non euclidea, 

 pag. 235. — Codesto gruppo oo 2 fu da me già incontrato nella ricerea delle superficie che ammet- 

 tono infinite trasformazioni conformi in se stesse (" Rendic. della R. Accad. dei Lincei „, serie 5", 

 voi. X, 2° sem., 1901), ed è precisamente il gruppo che, rappresentato nello spazio ordinario (mediante 

 una proiezione centrale su di una sfera di S 4 e una proiezione stereografica di questa), dà luogo al 

 gruppo conforme oo 2 del toro circolare. La relazione che così si viene a porre fra la superficie di 

 Clifford dello spazio ellittico e il toro circolare dello spazio euclideo, a me era sfuggita; e fu il 

 ch. mo Prof. Castelnuovo che richiamò su di essa la mia attenzione qualche mese fa. Più di recente 

 essa fu ripresa dal Prof. De Franchis nelle sue eleganti ricerche : Sulla rappresentazione grafica delle 

 lossodromiche del toro (Messina, tip. Guerriera, 1905). Qui posso ricordare (cfr. la mia Nota citata) 

 che le sole superficie del nostro spazio che ammettano un gruppo ce 1 di trasformazioni conformi, 

 non equivalenti a movimenti e similitudini, sono (all'infuori dei tori, che ne ammettono oo 2 ) le 

 superficie invarianti del gruppo conforme che si ottiene, mediante la indicata rappresentazione 

 sullo spazio ordinario, dal sottogruppo generico (20) del gruppo della superficie di Clifford; cosicché 

 codeste superficie con oo 1 trasformazioni conformi in se corrispondono alle elicoidi dello spazio ellit- 

 tico (come le lossodromiche del toro corrispondono alle eliche proiettive). Di questa relazione fra 

 codeste due classi di superficie mi occuperò altrove. 



( 2 ) L/ndemann, Ueber unendlich Meme Bewegungen und iiber Kraftsysteme bei allgemeiner projekti- 

 vischer Massbestimmung, " Math. Ann. „, Bd. VII, 1874. 



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