330 UGO AMALDI 



14. — In base ai nn. prec. possiamo formare la seguente tabella: 

 Gruppi proiettivi reali della sfera x\ -f~ x\ -f- x% -{- 1 = 0. 



20 



X 1P2- 



■XìVi, XiVz — XsPi, 



^aPs ' 



— %P 2 , Pi-\-sniU, 



p 8 +a; 2 !7, P3 + 23C 





x iPz - 



— x 2 p 1 —-p z — x ì U, 



x sPi ~ 



- X t p 3 — p 2 «2 tf", 



»sPs"— «sPa, Pl+ZlU" 





%1PÌ- 



— SBsp-L-^Pz-j-XgU, 



X3P1- 



-Z1P3+P2 -\-x 2 U , 



x 2 p s — x 3 p 2 , Pi + a?iJ7 





XlPì- 



-a;#i — p 3 — %tr, 



«sPs - 



" ^2 -Pi — *iP, 



_ 



*sPl — %P3 — P 2 — % ?7 





%1P2- 



-«sPi + Ps + *3^, 



Z2P3- 



-%?>2 + 2?l + 2àP\ 



%Pl — «1^3 +^2+ «2 ^ 



»iPs — *2Pl, 



ZiPs— «sPii a?2Ps — «sPs 







__ 







x x P%- 



— «aPii Ps + ^stf' 



















a{xiP 2 - 



-^2Pl)+HP3 +»sP) 





15. — Ricaviamo di qui senz'altro i tipi reali di gruppi di rotazioni della sfera 

 di £ 4 . Ricordando le relazioni di isomorfismo fra le trasformazioni infinitesime (14) 

 del g' e dei movimenti dello spazio ellittico e le trasformazioni infinitesime (13) del G' e 

 delle rotazioni della sfera in S 4 (n. 11), e notando che il sottogruppo 00 3 di g\ costi- 

 tuito dalle rotazioni intorno all'origine darebbe luogo ad un sottogruppo di G\ con 

 due punti uniti nella sfera, concludiamo che ogni gruppo proiettivo reale di S 4 che tras- 

 formi in sé la sfera 



x\-\-xt+x] + xl — l = 



e ammette un punto unito interno ad essa, e nessun punto unito esterno sulla super- 

 ficie, è equivalente dentro il gruppo totale della sfera ad uno dei gruppi seguenti (che 

 ammettono come punto unito il centro della sfera) : 



1 



%iP 2 x ìP\i %lPsi x zPl, 



XlPi- 



-&±Pi, é 2 Ps — «3P2, 



x 2 p é ~ 



-OS4P2, XìPi — XJPì 





i 

 i 



s 















X1P2 — x 2 p x -f- x 3 p± — x$> 3 , 



x iPs- 



-i» 3 Pl+%P2— *2P4, 



Xilh- 



-XiPi, x 2Ps— x sP2 

















x \Pì X ìPl %sP±~T X 4,P& 1 



x iPs- 



-X3P1— a!#a+ay?A, 



x iPi- 



~ x iP\ , x 2 p$ x 3 p 2 















[H] 



X1P2 -ZsPx+3>*P*—Vd?*i 



v%P%- 



-X 3 p 2 — Xrfh+XlPi, 



x %Px- 



- XiPz+XìPi—XiPì 

















x 1 p 2 —x 2 p l — «sPé+asiPs , 



X 2PS~ 



-x i p 2 +x i p x —x 1 p i 



XzPi- 



-x 1 p s —x 2 p A - ì r x i p 2 



x lP 2 — *2Pl, XìPi — XiPì 



x sPi — XiPs + c{x 1 p 2 —x 2 p 1 ) 



