21 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 331 



V. — Gruppi reali di movimenti e di similitudini 

 dello spazio ordinario. 



16. — Oramai, come risulta dal n. 4, per avere tutti i gruppi proiettivi reali 

 della sfera di S A non ci resta più che da considerare il gruppo oo 4 che lascia ferma 

 una retta esterna alla sfera e il gruppo G-, che ammette un punto invariante sulla sfera. 



Per quel che riguarda il gruppo co 4 suindicato, se si fissa la retta all'infinito 

 del piano # 1 =# 2 =0 (e quindi il piano polare x 3 = x A = 0) si trova che il gruppo 

 è generato dalle trasformazioni infinitesime 



[III] »iP2 — «aPi. «sPi — XiPs, Pi — %iU, Pì — x 2 TJ 



E quanto al 6? 7 che ammette un punto unito P sulla sfera, abbiamo notato che 

 se, per mezzo di una proiezione stereografica di centro P, si rappresenta sullo S 3 il 

 gruppo subordinato dal G 7 sulla sfera invariante, si ottiene il gruppo od 7 dei movi- 

 menti euclidei e delle similitudini. Ora se si fa astrazione da ogni questione di rea- 

 lità, i tipi di gruppi di movimenti euclidei e di similitudini sono già noti, in quanto 

 il Lie ha determinato e classificato tutti i gruppi proiettivi dello spazio che trasfor- 

 mano in se una conica ( 1 ). 



Per avere i gruppi reali di movimenti euclidei e di similitudini , basterebbe 

 discutere, per ciascun tipo di gruppo assegnato dal Lie, se, quando la conica fissa 

 sia il cerchio immaginario all'infinito, esso ammetta ancora dei rappresentanti reali 

 e, in secondo luogo, se possa dar luogo a più tipi di gruppi distinti dal punto di 

 vista reale. Ma si può procedere assai più rapidamente, ricordando che il Lie ha 

 anche determinato tutti i tipi di gruppi reali di movimenti ( 2 ). Ora è manifesto 

 che per ottenere i gruppi reali di movimenti e di similitudini basterà considerare 

 successivamente i singoli gruppi reali di movimenti X lt X 2 \ ..., X s e cercare, per 

 ciascuno d'essi, se esistano gruppi del tipo 



X, U (i= l,2....s), 

 del tipo 



Xi+dU (i = 1, 2..., s), 



dove U = xp -f- ya -\- zr e le c c sono costanti reali opportune. 



I calcoli sono tanto elementari che basterà dare i risultati, che sono raccolti 

 nella tabella seguente, nella quale e designa un parametro reale arbitrario ( 3 ) : 



(') Lie-Engel, Op. oit., voi. Ili, Kap. 11. 



( 2 ) Lie-Engel, ibidem, pag. 385. 



( 3 ) I gruppi reali di similitudini ad un parametro sono stati determinati dallo Staeckel, Beitrage 

 zur Flachentheorie, VI, Leipz. Ber., 1898. Cfr. anche Lie-Scheffers, Vorlesungen. ilber Differentialglei- 

 chungen mit behannten infinitesimaleii Transformationen, pag. 237-243. 



