23 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 333 



17. — Questi sono i tipi di sottogruppi reali del 6? 7 dei movimenti euclidei e 

 delle similitudini, irreducibili fra loro entro il G-, medesimo. Ma dal punto di vista 

 della classificazione dei gruppi conformi è necessario esaminare se fra codesti tipi 

 ve ne siano di equivalenti entro il gruppo conforme totale. Perciò vediamo se un 

 sottogruppo del nostro <? 7 possa essere trasformato in un altro sottogruppo dello 

 stesso 6? 7 da una trasformazione conforme generale, cioè non riducibile a movimenti 

 e similitudini. 



Sia dunque G un sottogruppo di G n e, indicando con T una trasformazione con- 

 forme generale, supponiamo che il gruppo 



<7 1= T~ l GT 



sia ancora un gruppo di movimenti e di similitudini. 



È notorio che una trasformazione conforme generale si può sempre immaginare 

 ottenuta, eseguendo prima un' inversione per raggi vettori reciproci I (di modulo 1) 

 e poi una trasformazione S di G 7 ( x ). Potremo quindi porre: 



T=SI 



e per fissare le idee supporremo, come è lecito, che il polo dell'inversione cada nel- 

 l'origine. Avremo allora: 



G 1 = I~ 1 S- 1 GSI, 



ossia, indicando con G' il gruppo di movimenti e di similitudini S^GS, 



G 1 = I- 1 G'I. 



Ora l'inversione / trasforma ogni traslazione infinitesima in una di quelle trasfor- 

 mazioni infinitesime non appartenenti al G 7 , che il Werner chiama circolazioni per 

 l'origine ( 2 ) e che ammettono come traiettorie i cerchi tangenti nell'origine ad una 

 medesima retta, mentre d'altra parte trasforma in sé il gruppo delle : rotazioni in- 

 torno all'origine e il gruppo co 1 delle omotetie di centro nell'origine, generato dalla 

 trasformazione infinitesima Ì7= xp -\- ijq-\- zr. Risulta di qui che se 6?! è, come G', 

 un gruppo di movimenti euclidei e di similitudini, il gruppo G' non può contenere 

 ne sottogruppi di traslazioni, né movimenti elicoidali, e perciò non può essere che il 

 gruppo delle trasformazioni spirali 



xq — yp. yi zq, zp — xr, U, 



o uno dei suoi sottogruppi, i quali sono il gruppo oo 2 delle trasformazioni spirali di 

 dato asse (e di parametro variabile) 



xq — yp, U, 



(') Cfr. p. es. Lie-Scheffers, Geometrie der Berilhrungstransformationen, voi. I, pag. 425. 

 ( 2 ) " Math. Ann. „, t. 35. 



