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il gruppo co 1 delle trasformazioni spirali di dato asse e di dato parametro 



xq — yp -f- cU 



e il gruppo oo ! delle omotetie 



U. 



Tutto dunque si riduce a vedere se sia possibile trasformare l'uno nell'altro 

 questi due ultimi gruppi od 1 per mezzo di una inversione di polo nell'origine. Poiché 

 ciò è impossibile in quanto il gruppo delle omotetie di centro nell'origine è trasfor- 

 mato in sé stesso da ogni siffatta inversione, concludiamo che i tipi di gruppi reali 

 di movimenti e di similitudini enumerati nella tabella del n. precedente sono distinti 

 anche rispetto al gruppo totale delle trasformazioni conformi dello spazio. 



VI. — Relazioni di isomorfismo fra il gruppo proiettivo 

 della sfera di S± e il gruppo conforme di S 3 . 



18. — Per trovar cotesto relazioni non abbiamo che da considerare il gruppo 

 subordinato sulla solita sfera 



(5) x\ + 4 + A + x\ - 1 = 



dal suo gruppo proiettivo totale, e proiettarlo poi (stereograficamente) da un punto 

 di essa su di uno S 3 parallelo allo S 3 tangente alla sfera nel polo. Scelto come polo 

 il punto 0, 0, 0, 1, le forinole di codesta rappresentazione sono: 



x x = 





2x 





x* + 



2/ 2 + * s 



+ 1 



tf + 



/ + *> 

 2» 



+ 1 



a*-f- 



2/' + * 2 



+ 1 



x* + 



*» + •» 



— 1 



x 3 



Vi-' X 1 + yl + g» + ! > 



in base alle quali si trova che tra le trasformazioni infinitesime deb C? 10 proiettivo 

 della sfera (5) e quelle del gruppo conforme di S z sussistono le seguenti relazioni 

 di isomorfismo: 



/ x x p 2 — x ì p l = xq — yp 



(21) ^ Xì p 3 — x 3 p x = xr — zp 



x 2 p 3 — x 3 p 2 = yr — zq 



