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I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 



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(22) 



(23) 



XiPi — %iPi — \ [0- + x *~ — V 2 — Z% )P + 2x M + 2%zr] 

 x 2 p± —x 4 p 2 = -|- [2y.xp + (1 — x 2 + «/2 _ ^ _|_ 2 ^ r ] 



^4 — X aPz = -y t 2 * 2 *' + 2Z M + t 1 — X * — '/ + 2 2 )'-] 



Pi—tiU = \ [(1 — « 2 + */ 2 + * 2 )? — 2a^g — 2awr] 

 p 2 — x 2 U = -§"[— 2y»P + (1 + * 2 - */ 2 + * 2 )? — 2yzr] 

 p 3 —x 3 U = -i- {—2zxp — 22«/g + (1 + a; 2 + y 2 — 2 2 )r 

 p 4 — z 4 P" = xp + yg -f- zr. 

 In particolare si ha di qui per quanto riguarda le traslazioni infinitesime in S 3 

 / x x Pi — x$ x J rPi — x 1 U=p 

 <24) ì x 2 Pi — x^ + p. 2 — x. 2 U=q 



\ %sPa — x à p 3 + p 3 — x 3 U = r . 



19. — Prima di applicare le relazioni precedenti alla determinazione dei gruppi 

 conformi dello spazio, ricordiamo che, mentre ai nn. 10, 15 abbiamo assegnato espli- 

 citamente i tipi di gruppi proiettivi reali della sfera che lascian fermo un punto non 

 appartenente ad essa, abbiamo poi classificato al n. 16 i gruppi di movimenti e di 

 similitudini, i quali, rappresentati, mediante una proiezione stereografica, su di una 

 sfera di S à , danno i tipi di gruppi proiettivi della sfera nello spazio a quattro di- 

 mensioni che ammettono un punto unito sulla sfera; ed anzi l'osservazione del n. 17 

 ci assicura che i tipi che così si ottengono sono tutti distinti entro il gruppo totale. 

 Abbiamo dunque che per ottenere il quadro completo dei tipi di gruppi proiettivi 

 della sfera di 5^ basta aggiungere ai tipi [I], [II], [III] (vedi nn. 10, 15, 16) quelli 

 che si ottengono dai gruppi della tabella del n. 16 ricorrendo alle relazioni di iso- 

 morfismo (21) (23) (24). Così, in particolare, corrispondentemente al grappo totale dei 

 movimenti e delle similitudini si trova il gruppo: 





x{p 2 x 2 p x , 



XlPì- 



— a 3 Pi, x 2 p 3 



— *sPs, Pi- 



- xJJ 





XiPi- 



-^iPi+Pi — ^U, 



x ?pi - 



- %4P2 + Pi. - 



- x 2 U, x 3 p t — 



- x ùh + Vi - 



-x 3 U, 



che, naturalmente, si ottiene in modo diretto, cercando il più ampio gruppo pro- 

 iettivo che lascia ferma la sfera (5) e ammette su di essa il punto unito 0, 0, 0, 1. 



VII. — Gruppi conformi reali dello spazio. 



20. — Possiamo oramai concludere. Poiché ogni gruppo proiettivo reale della 

 sfera di S A , che non lascia fermo nessun punto sulla sfera stessa, è equivalente ad 



