27 I GRUPPI CONTINUI REALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 337 



21. — Aggiungiamo qualche breve osservazione. 



Anzitutto notiamo che i gruppi (D) (D') [come i rispettivi sottogruppi (F) (F') ], 

 pur essendo distinti dentro il gruppo conforme continuo, sono trasformabili l'uno 

 nell'altro mediante la simmetria rispetto al piano xy, la quale scambia le due classi 

 di rette minime (di 2 a specie) destrorse e sinistrorse. 



Restan dunque pel gruppo conforme continuo totale otto tipi di sottogruppi reali, 

 essenzialmente distinti, dei quali solo i due tipi co 2 e co 1 (F) e (G) sono, com'è 

 inevitabile, integrabili ( J ). 



È facile caratterizzare geometricamente codesti otto gruppi. 



Il gruppo (A) è il più ampio gruppo conforme che trasformi in se la sfera reale 



(25) a* + f + z- = 1 



e quindi le sue due schiere rigate di rette minime di l a specie; mentre il tipo (B) 

 è dato dal sottogruppo di (A) che trasforma in se la circonferenza, sezione della (25) 

 col piano 2 = 0. E al tipo (B) possiamo ravvicinare il tipo (H) [che contiene anche 

 esso (B) come sottogruppo (invariante) ] il quale è il più ampio gruppo conforme 

 che trasformi in sé la circonferenza sezione della sfera (25) col piano z = : mentre 

 il gruppo (B) ammette come invariante ogni sfera passante per codesta circonferenza, 

 il gruppo (H) subordina in codesto fascio di sfere un gruppo (proiettivo) co 1 (a ele- 

 menti uniti complessi coniugati). 



Il gruppo (C) è dato dall'insieme delle trasformazioni conformi che trasformano 

 in sé la sfera immaginaria 



a" + f + s 2 + 1 = 0, 



e quindi ciascuna delle due schiere rigate di rette minime di 2 a specie, che le ap- 

 partengono. Se nella schiera rigata delle generatrici destrorse se ne fissano due co- 

 niugate, si ottiene il gruppo (D), il quale subordina, naturalmente, su codesta schiera 

 un gruppo proiettivo oo 1 ; mentre, se si fissano tutte le rette della schiera stessa, si 

 ottiene il gruppo (E). 



Il gruppo (F), da ultimo, ottenuto dal gruppo dei movimenti ellittici della su- 

 perficie di Clifford, trasforma in sé, corrispondentemente al fascio di superficie di 

 Clifford (20), un fascio di ciclidi del Dupin a quattro punti doppi immaginari, precisa- 

 mente il fascio di tori circolari (proprii). 



(26) X* + if -f *» + 1 — è Va; 2 + y 2 = 0. 



Anzi il gruppo (F) trasforma in sé il sistema triplo ortogonale, costituito dai 

 tori, dai loro piani meridiani e dalle sfere del fascio (avente come circolo base il 

 circolo limite del fascio di tori) 



z 2 + «/ 2 + z 2 — 2cz— 1 = 0. 



(') Si ha così la conferma del fatto (efr. la mia Nota citata) che ogni gruppo conforme inte- 

 grabile (distinto dal gruppo co 2 del toro e dai suoi sottogruppi) è equivalente a un gruppo di mo- 

 vimenti euclidei e di similitudini. 



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