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Si riconosce in questo il sistema triplo corrispondente alle coordinate anulari o 

 toroidali (Binc/scoordinaten) , che trovano sì larga applicazione nelle questioni fisico- 

 matematiche relative all'anello (*). 



22. — Per formarci un'idea un po' più precisa sul modo di operare dei nostri 

 gruppi conformi, ci conviene cercare quali siano le traiettorie delle trasformazioni 

 infinitesime particolari, che per ciascun di essi abbiamo ottenuto come rispettive 

 generatrici nel quadro del n. 20. 



E, tralasciando naturalmente le rotazioni, cominciamo dalle trasformazioni infi- 

 nitesime del tipo 



(27) 2zxp -f 2zyq 4- (z 2 — x 2 — y 2 — \)r , 



le quali compaiono nei gruppi (A) e (B). 



Il gruppo oo 1 generato dalla (27) ammette le equazioni finite 



■ 2x 



(28) y' = 



1 4- coshi -f- 2zsento — (ai 2 4- y 1 -\- z 2 ) (1 — costo) 



2y 



1 4" costo 4- 2zsento — (x 2 4- rf + z 2 ) (1 — costo) 



, sento 4- 2zcosto 4- (a; 2 4- 2/" 2 4- assento 



1 4- eosto 4- 2zsento - (a; 2 4- f 4" z s > (1 - costo) ' 



onde risulta che il gruppo ammette i due punti uniti x = «/==- 0, z ==■ ± 1 e che le 

 traiettorie sono i circoli meridiani del fascio di tori impropri, aventi come doppi 

 codesti due punti reali 



(29) x 2 + if + z 2 — 1 - b)lx 2 + y- = 0. 



Questi tori sono perciò invarianti rispetto al gruppo oo 1 considerato (nonché 

 al gruppo oo 1 di rotazioni intorno all'asse z, che combinato col primo dà un gruppo oo 2 

 permutabile) ( 2 ). 



(') Cfr. per es. Riemann-Weber, Die partiellen Differentialgleichungen der maihematischen Physih, 

 II Aufl., I Bd, pag. 103. 



( 5 ) Il gruppo xq — yp, 2zxp 4- 2zyq 4" (z s — a; 2 —?/ 2 — \)r del fascio di tori impropri (29) non ha 

 nessun rappresentante nel quadro del n. 20, perchè, come è noto, il fascio di tori (29) si trasforma, 

 mediante una qualsiasi inversione (reale), avente come polo uno dei due punti doppi, in un fascio 

 di coni (reali) di rotazione; onde il gruppo corrispondente si trasforma in un gruppo di movimenti 

 e di similitudini del tipo xq — yp, xp 4" ?/<? 4" *»". Una analoga trasformazione reale non è più possi- 

 bile pel gruppo (F) del fascio (26) di tori propri. 



Qui possiamo aggiungere che il fascio di tori impropri a punto doppio reale biplanare: 



x*+y*+z*-b)/x'- + tj'=0 



ammette il gruppo conforme o° 2 commutabile 



xq — yp, ìzxp 4" 2z«/g -{- (z 2 — x n — «/)>•; 



e una qualsivoglia inversione avente per polo l'origine (cioè il punto doppio comune dei tori) tras- 

 forma il fascio di tori nel fascio dei cilindri di rotazione aventi per asse l'asse delle z e il gruppo 

 conforme co 2 suindicato nel gruppo oo 3 di movimenti elicoidali: 



xq — yp, r. 



