1 + cosi — 



- 2ssent -+- (a; 2 

 2y 



+ r 



' + : 



s 2 )(l- 



■ cosi) 



1 + cosi - 



- 2sseni -|- (a; 2 



+V 



+■ 



S) (1 - 



cosi) 



seni + 2scosi —■ {x 1 



+ y'' 



! + 



2?) seni 





29 I GRUPPI CONTINUI BEALI DI TRASFORMAZIONI CONFORMI DELLO SPAZIO 339 



Analogamente si trova (sia direttamente, sia sostituendo a x, y, z, t nelle (28) 

 ix, iy, iz, it rispettivamente) che il gruppo generato dalla 



(30) 2zxp + 2zyq + (z 2 — x 2 — y 2 + l)r 



ammette le equazioni finite ( x ) 



2x 



(31) 



l + cosi — 2sseni + (a; 2 +«/ 2 + a 2 ) (1 — cosi) ' 



cosicché le traiettorie sono i circoli meridiani dei tori propri del fascio (26). 

 Quanto, finalmente, alla trasformazione infinitesima 



(32) 2a (xq — yp) -f- 2zxp -\- 2zyq -\-{z 2 — x 2 — y 2 -\- 1) r 



del gruppo (G), basta ricordare la commutabilità delle due trasformazioni infinitesime 

 di cui essa è combinazione lineare per concluderne che per avere le equazioni finite 

 del gruppo oo 1 da essa generato basta combinare colla trasformazione (31) un 

 gruppo co 1 di rotazioni intorno all'asse z, di velocità angolare a rispetto al para- 

 metro t. Si ha così che le traiettorie della (32) sono lossodromiche dei tori propri (26). 

 L'angolo costante tu, sotto cui le lossodromiche avvolgentisi sul toro di para- 

 metro b incontrano i meridiani, è dato da 



2« 

 uu = arctg , ; 



onde risulta che le traiettorie delle trasformazioni infinitesime del tipo 



± 2(xq — yp) + 2zxp + 2zyq + (f — x 2 — y 2 + l)r 



che compaiono nei gruppi (D) (D') (E) (E') non sono altro che i circoli sezioni dei 

 tori (26) coi rispettivi piani bitangenti. 



23. — Io non mi occuperò qui ulteriormente delle eleganti proprietà geome- 

 triche dei gruppi conformi reali. Piuttosto, prima di terminare, accennerò ad un 

 gruppo conforme immaginario, che mi sembra assai notevole, cioè al gruppo con- 

 forme oo 3 . cui dà luogo il gruppo proiettivo di S 4 , che trasforma in se una sfera 

 e una quartica razionale immaginaria, tracciata su di essa, del quale ci siamo già 

 occupati al n. 3. 



Qui possiamo anzitutto notare che una quartica razionale C 4 di S> 4 ammette in ogni 

 suo punto come tangente una generatrice della corrispondente quadrica di Clifford; 



Cfr. la mia Nota citata ed anche un mio lavoro: Tipi di potenziali, che divisi per una fin- 

 zione fissa, si possono far dipendere da due sole variabili, " Rend. del Gire. Matem. di Palermo „ , 

 t. XVI, 1902. 



