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cosicché se questa quadrica è una sfera, come noi qui supponiamo, la C 4 avrà come 

 tangente in ogni suo punto una generatrice immaginaria della sfera; e, nella 

 rappresentazione stereografica della sfera di S A sullo spazio ordinario S 3 la nostra 

 quartica darà luogo, secondochè il polo si sarà scelto fuori della O o su di essa, 

 ad una quartica o ad una cubica, avente come tangenti delle rette minime, vale a 

 dire una quartica o una cubica minima. 



Per determinare le trasformazioni infinitesime del corrispondente gruppo con- 

 forme, riferiamoci al n. 3. Partiamo dalla quartica (1), avente le equazioni para- 

 metriche 



(33) Vl = t, y 2 = t*, y 3 = t\ y 4 = t* 



ed eseguiamo su di essa la trasformazione 



J 6 l 



tJl — 2(1 + **) 



y ' 2 _ V8"(l+*) 



_ g, —iz s 

 y * — 2(1 -HJ 



1— Si 



l+*4 



Otteniamo così la quartica 

 la quale, come vedemmo al n. 3, ammette il gruppo proiettivo 



l fàiZiTs — 2 2 r,) — «8*4 + *4''3 + *1 »'l — Slfclfl + «2»'2 + %' - 3 + ^é) | 



( 4 ) ^ V3(s 2 r 3 — z 3 r 2 ) - z 4 r x -j- Zl r± -f ì \ r 3 — «sfo^ + z 2 r 2 + z 3 r B + z 4 r 4 ) j 

 V z^ — z s r 1 -\-2i)r i — z^z^ + «a^ + z 3 r 3 + z i r ù { ■ 



Ora eseguiamo la proiezione stereografica della sfera di S 4 su S 3 , scegliendo 

 come solo il punto (reale) z 1 =z 2 =z, = 0,a 4 =l, che appartiene alla O (immagi- 

 naria) (34). Otterremo così, corrispondentemente alla O, la cubica, avente le equa- 

 zioni parametriche (posto s = £ _1 ). 



(35) a; = s(l + s 2 ), y = — i ]/S s 2 , » = w(l — s 2 ); 



e il gruppo conforme della C 3 (35) sarà generato, come risulta dalle (4) e dalle (21) 

 (22) (23), dalle trasformazioni infinitesime 



(36) 



2Ì3{xq—yp)—i[(x 2 —ì/—z 2 —l)p-\-2xyq+2xzr]—[2zxp-\-2zyq-] r {z 2 —x 2 —y 2 +l)r] 

 2Ì3(yr—zq)+{x 2 —y 2 —z 2 +l)p+2yyq+2xzr—i[2zxp+2zyq+{z 2 —x 2 --y 2 —l)r] 



xr — zp -4- 2i(xp -j- yq -f- ar) 



