128 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



dx dx x dx a 



JC Q CtJC Q JC j & JC f JC 3 CtJC Q 



= 





JC Q CtJC Q ^ 4 CtJC 4 JC Q CiJC Q 



YR(x ) + YR{x t ) +-'-*- YR(x ? ) ==0 



Die Zusammensetzung der Ausdrücke <p x ...cp ? ist ferner von 

 der Art, dafs sie sich nicht ändern, wenn irgend zwei der Grö- 

 fsen x . . . x ? und zugleich die zugehörigen Kadicale unter einan- 

 der vertauscht werden. Daraus folgt, dafs sich aus den Gleichungen 



<P\ = C t . . . (p ? = C ? 



durch Wegschaffung der Wurzelgröfsen eine gleiche Anzahl 

 anderer 



F t = o.. .F ? =0 



mufs ableiten lassen, in denen die Ausdrücke auf der linken Seite 

 rationale und symmetrische Functionen von x . . . x ? sind, 

 und daher, wenn man mit w, die Summe der x bezeichnet, mit 

 u 2 die Summe der Produkte je zweier, mit u 3 die Summe der 

 Produkte je dreier etc., rational aus w, , u 2 . . . « ?+1 zusam- 

 mengesetzt werden können. In der That hatte für £ = l bereits 

 Euler gefunden, dafs die Differential-Gleichung 

 ax q dx | 



1/Ä(* ) "*>«(*,) 



durch eine Gleichung zweiten Grades zwischen u x = x -+• x t 

 und u 2 =x x t integrirt werden könne; und Jacobi hat für 

 jeden Werth von £ gezeigt*), dafs zwischen je zweien der 

 Gröfsen u eine quadratische, und zwischen je dreien eine 

 lineare Gleichung besteht. Zur Begründung dieses interessan- 

 ten Resultats hat jedoch Jacobi die bis dahin bei der Integra- 

 tion der in Rede stehenden Differential- Gleichungen angewand- 

 ten Methoden verlassen und durch eine neue ersetzen zu müs- 

 sen geglaubt. Es dürfte indessen gut sein zu bemerken, dafs 

 das Abel'schen Theorem, so wie dasselbe auf die einfachste 

 Weise zu den vorhin angegebenen Integralen der betrachteten 

 *) Crelle's Jnurnal, Bd. 32. 



