vom 26. Mai 1862. 303 



den inneren Grund der darin enthaltenen Relationen gewisser 

 Determinanten zu erforschen, d. b. einen Zusammenhang der 

 verschiedenen quadratischen Formen selbst aufzusuchen. Wäh- 

 rend ich nun sehr bald durch eine aus der analytischen Quelle 

 jener Formeln geschöpfte Induction zur Auffindung des vermu- 

 theten Zusammenhangs geführt wurde, ist es mir erst vor Kur- 

 zem gelungen, das betreffende Resultat, welches eine Beziehung 

 zwischen den reducirten Formen verschiedener Determinanten 

 angiebt und welches den Gegenstand der vorliegenden Mitthei- 

 lung bildet, vollständig und zwar auf rein arithmetischem Wege 

 zu beweisen. 



Man denke sich für eine ungrade Primzahl p die sämmt- 

 lichen reducirten positiven quadratischen Formen der Determi- 

 nanten: — yo, — (/? — -l 2 ), — (p — 2 2 ), — (/> — 3 2 ), .... aufgestellt, 

 bei denen wenigstens einer der äufseren Coefficienten ungrade 

 ist; von den hierbei vorkommenden Ambigen nehme man die- 

 jenigen weg, in denen a = — 2 b ist, so wie diejenigen, bei 

 welchen a = c und zugleich b positiv ist; endlich bilde man für 

 alle übrig bleibenden Formen: (a n b iy c,), (a 2 , £ 2 , c 2 ), 

 (o 3 , £ 3 , c 3 ), .... die Congruenzen: 



a t z 2 -t-2b t z-+-c t =EE0, a 2 -z 2 -Y-2b 2 z-\-c 2 EEEO, mod. /?, 



welche offenbar, je nachdem die Determinante der betreffenden 

 Form — p selbst oder eine der Zahlen: — (p — 1), — (p — 4), 

 — (/» — 9), .... ist, je eine oder je zwei Wurzeln haben. Als- 

 dann ist, wenn F(n) die Anzahl der verschiedenen Klassen 

 quadratischer Formen für die Determinante — n bedeutet, die 

 Anzahl aller jener Congruenzwurzeln gleich: 



F( / »)H-2F( /D -t 2 )-|-2F( y 9-2 2 )-H2F(^-3 2 ) 



d. h. also — zufolge der von mir im Journal für Mathematik 

 (Bd. 57. pag. 249) gegebenen Formel No. V. — gleich (/y-f-l) 

 oder gleich /?, je nachdem /? = 1 oder 3 mod. 4 ist. Wenn man 

 nun im ersteren Falle für diejenigen ambigen Formen, in wel- 

 chen a = c<.Vp ist, die eine der beiden Congruenzwurzeln (und 

 zwar diejenige, welche dem unter \p liegenden positiven 



