304 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Werthe von Vb 2 — ac entspricht) mit dem negativen Werthe 

 derselben vertauscht, in dem einzigen Falle aber, wo dieser 

 Werth mit der andern Congruenzwurzel identisch, nämlich wo 

 b = o wird, wegläfst, so ist die Anzahl aller auf diese Weise 

 aus jenen Congruenzwurzeln gebildeten Zahlen in jedem Falle 

 gleich/?. Alle diese Zahlen sind modulo p von ein- 

 ander verschieden, d. h. sie bilden für eben diesen 

 Modul ein vollständiges Restensystem. 



Aus dieser merkwürdigen Eigenschaft der quadratischen For- 

 men von negativer Determinante geht unmittelbar folgender 

 Satz hervor: 



„Wenn Z>, D\ D'\ . ... die verschiedenen Zahlen bedeu- 

 ten, für welche p durch die Formen: x 2 •+- Dy 2 , x 2 -\-D'y 2 , 

 x 2 -\-D"y 2 , .... darstellbar und / ungrade ist, wenn ferner mit 

 (a,, 6,, Cj), (a 2 , ^2? c i)i •••• die särnmtlichen eigentlich pri- 

 mitiven positiven reducirten Formen der Determinanten: — J9, 



— D\ — Z>", .... bezeichnet werden, so ergeben die Con- 

 gruenzen : 



Ol z 2 -+-2Ä , z-hc t =E0, a 2 z 2 -f-2# 2 z-f-c 2 ;EErO, mod. p 



für z alle p verschiedenen Werthe, und zwar jeden genau zwei- 

 mal, sobald man die Wurzeln aller derjenigen Congruenzen 

 doppelt nimmt, bei welchen der Coefficient von z 2 mit dem 

 absoluten Werthe eines der beiden andern Coefficienten nicht 

 übereinstimmt." 



Da, wenn p = 4n-i-3 ist, für keine der Determinanten 



— D ambige Formen existiren, in denen a = ±26 oder a = c 

 wäre, so läfst der erwähnte Satz in diesem Falle folgende ein- 

 fachere Fassung zu: 



„Wenn (a„ £ n c,), (a 2 , 6 2 , c 2 ), .... die särnmtlichen 

 eigentlich primitiven positiven reducirten Formen aller derjeni- 

 gen negativen Determinanten — D sind, für welche p durch 

 die Hauptform x 2 -f- Dy 2 darstellbar und y ungrade ist, so bil- 

 den die Wurzeln der modulo p genommenen Congruenzen: 

 a i z 2 -h2b t z-1-Ci = 0, a 2 z 2 -t-2b 2 z-\~c 2 EEO, .... für eben 

 diesen Modul ein vollständiges Restensystem." 



Endlich kann, indem man die Wurzeln jener quadratischen 



