vorn 26. Mai 1862. 305 



Congruenzen selbst in Betracht zieht, für jede beliebige Prim- 

 zahl p der Satz folgendermafsen formulirt werden : 



„Wenn d irgend eine der positiven ganzen Zahlen bedeu- 

 tet, welche kleiner als Vp sind, und wenn ferner mit (a,, b t , c,), 

 (a z , b 2l c 2 ), .... alle diejenigen positiven reducirten Formen 

 der Determinanten — (p — d 2 ) bezeichnet werden, in denen we- 

 nigstens einer der beiden äufseren Coefficienten ungrade und 

 der mittlere Coefficient nicht negativ ist, so bilden die Aus- 



drücke: ~ ein vollständiges Restensystem für den Mo- 



dul />, sobald man im Allgemeinen alle vier Zeichencombinatio- 

 nen zuläfst, aber in den besonderen Fällen, wo a = 2b ist, b 

 nur negativ nimmt und für den Fall: a=c nur das obere Zei- 

 chen der gröfseren von den beiden Zahlen b, d beibehält." 



Der Beweis dieses Satzes wird einerseits auf die schon oben 

 erwähnte Formel (Journal für Mathematik, Bd. 57. pag. 249) 

 gegründet, mit Hilfe deren sich ergiebt, dafs die Anzahl der 



, . , ±b±d _ . _ . , . . . , 



Ausdrucke: genau gleich p ist, und andrerseits wird 



gezeigt, dafs je zwei von diesen Ausdrücken, modulo p betrachtet, 

 von einander verschieden sind. Von den beiden Haupttheilen, 

 in welche sonach der Beweis zerfällt, enthält der erstere eine 

 rein arithmetische Herleitung jener Formel für die Klassenan- 

 zahlen, während im zweiten Theile die Unmöglichkeit der Con- 

 gruenz : 



c'(±6i(i) + o(^6'| d') EE mod . p 



in folgender Weise dargethan wird. Es wird zuvörderst nach- 

 gewiesen, dafs in der für die Congruenz zu setzenden Glei- 

 chung : 



a' (± b ± d) -f- a (q: b' qp d') = h . p 



mit Rücksicht auf die für die Zahlen «, 6, d, a\ b\ d\ beste- 

 henden Ungleichheitsbedingungen der absolute Werth von h 

 nur gleich Null oder Eins sein kann. Da nun, wenn jene Glei- 

 chung stattfindet, die Zeichen auf der linken Seite so gewählt 

 werden können, dafs h positiv ist, so sind nur die beiden Fälle 



