vom 26. Juni 1862. 365 



so ist in der einen sowohl der erste als der letzte Coefficient 

 gleich Eins, in den andern zwei Gleichungen aber ist resp. der 

 erste oder der letzte Coefficient gleich Eins und der andre 

 eine Potenz von Zwei. Eine dieser drei Gleichungen enthalt 

 als Wurzel den bekannten Werth von k welcher zu: q=se~ nVn 

 gehört. Sind nun /? M p 2 , p 3 , .... p v die verschiedenen in der 

 Zahl n enthaltenen Primfactoren, so zerfällt die erwähnte Glei- 

 chung 2iVten Grades unter Adjunction von j//?,, ]//t? 2 , .... ]/p v 

 in 2" Factoren, deren jeder vom Grade (^)" _1 .iV ist. Der 

 Grad einer jeden dieser Theilgleichungen ist also, je nachdem 

 72 = 3 oder 1 mod. 4 ist, gleich der einfachen oder doppelten 

 Anzahl der in einem Genus enthaltenen Klassen quadratischer 

 Formen der Determinante — n. In dem letzteren Falle ist aber 

 mit jedem Werthe von k zugleich der entsprechende Werth 

 von: 1 — k in derselben Gleichung enthalten, so dafs alsdann 

 Gleichungen für: k(i — k) existiren, deren Grad ebenfalls gleich 

 der einfachen Anzahl der zu einem Genus gehörigen Klassen ist. 

 Hiernach läfst sich das erwähnte Resultat dahin formuliren, 

 dafs die singulären Moduln, für welche complexe 

 Multip lication mit V — n stattfindet, — je nachdem 

 rc = 3 oder i mod. 4 ist — durch Gleichungen für k 

 oder k(l — k) bestimmt werden, deren Coefficienten 

 aus den Quadratwurzeln der einzelnen in n enthal- 

 tenen Primfactoren rational zusammengesetzt sind, 

 und deren Grad genau gleich der Anzahl der zu 

 einem und demselben Genus gehörigen Klassen 

 eigentlich primitiver Formen der Determinante 

 — n ist. 



Die hier angegebene weitere Zerlegung der Gleichungen, 

 von denen jene singulären Moduln der elliptischen Functionen 

 abhängen, ist nicht nur für die Einsicht in die Natur dieser 

 Moduln selbst von der gröfsten Wichtigkeit, sondern dieselbe 

 vervollständigt auch die bereits früher erwähnten Anwendungen 

 der Theorie der elliptischen Functionen auf die der quadrati- 

 schen Formen, indem nunmehr auch die auf die Eintheilung in 

 Genera bezüglichen arithmetischen Sätze aus der in Rede ste- 

 henden analytischen Untersuchung herzuleiten sind. Es findet 



