vom 26. Juni 1862. 369 



Beweis der Irreductibilität der erwähnten Gleichungen zu füh- 

 ren suchen. Diefs ist mir in der That gelungen, nachdem ich 

 mit Hilfe der D iri chl et sehen Principien die Klassenanzahl für 

 die aus jenen Moduln gebildeten complexen Zahlen ermittelt 

 habe. Hierdurch wird nämlich, was sonst am Anfange zu ge- 

 schehen pflegt, erst am Schlüsse der arithmetischen Theorie die 

 Irreductibilität der zu Grunde gelegten Gleichung bewiesen, 

 und es ergiebt sich zugleich der damit nahe verwandte Nach- 

 weis, dafs durch jede eigentlich primitive quadratische Form von 

 negativer Determinante unendlich viele Primzahlen dargestellt 

 werden. 



Die hier erwähnte Theorie complexer Zahlen, deren Be- 

 handlung ich grofsen Theils durchgeführt habe, schliefst die 

 Theorie der quadratischen Formen mit complexen Coefficienten: 

 ö + 6]/ — n als speziellen Fall in sich, und es wird hierdurch unter 

 Anderm Dasjenige erledigt, was allen Vermuthungen nach den Inhalt 

 des nicht erschienenen zweiten Theils der die Zahlen a-hb]/ — l be- 

 treffenden D irich 1 etschen Abhandlung (Journal für Mathematik 

 Bd. 24.) bilden sollte. Ferner ist in jener Theorie complexer 

 Zahlen als spezieller Fall auch die Theorie aller derjenigen ent- 

 halten, welche aus Quadratwurzeln ganzer Zahlen zusammen- 

 gesetzt sind. Eine nähere Angabe der hierbei gewonnenen 

 arithmetischen Resultate würde dem Zwecke dieser vorläufigen 

 Notiz nicht entsprechen, aber ich darf eine algebraische 

 Folgerung nicht übergehen, welche die obige Zerlegung der 

 Gleichungen für k und &(l — k) gestattet. Der Affect der 

 Theilgleichungen, deren Coefficienten die Quadratwurzeln der 

 einzelnen Primfactoren von n enthalten, hat nämlich für jede 

 beliebige Zahl n zur Regularität der betreffenden Determinante 

 jene einfache Beziehung, welche ich in meiner Notiz vom October 

 1857 nur für den Fall angeben konnte, wo n Primzahl ist. 

 Die Anzahl der verschiedenen Perioden der Wurzeln ist gradezu 

 gleich dem Exponenten der Irregularität und die Theilgleichung 

 selbst ist für den Fall, wo die Determinante — n regulär ist, 

 eine Abel sehe Gleichung in dem Sinne, dafs die cyklischen 

 Functionen ihrer Wurzeln rationale Functionen von V — l und 

 den Quadratwurzeln der einzelnen Primfactoren der Zahl n sind. 

 Auch hierin zeigt sich die Bedeutung der weiteren Zerlegung 



