370 Gesammtsitzung 



der Gleichungen, durch welche ursprünglich jene singulären 

 Moduln der elliptischen Functionen bestimmt werden, und ich 

 will nun zum Schlüsse die Methode kurz andeuten, mit Hilfe 

 deren ich dazu gelangt bin, zumal die Auffindung derselben nicht 

 ohne Schwierigkeiten gewesen ist. — Das dabei angewendete 

 Princip ist dasselbe, welches mir schon die Trennung der Mo- 

 duln nach den verschiedenen Determinanten der zugehörigen 

 quadratischen Formen und überhaupt die Aufstellung jener frü- 

 her erwähnten Gleichungen iVten Grades ermöglicht hat, deren 

 Coefficienten nur ]/n enthalten und deren Wurzeln sämmtlich 

 als rationale Functionen einer einzigen mit ganzzahligen Coef- 

 ficienten von der Form a + bi ausdrückbar sind. Ich setzte 

 nämlich in der Gleichung: # (ju, &) = o, welcher die verschiede- 

 nen Multiplicatoren der Transformation rater Ordnung genügen, 

 und deren Coefficienten ganzzahlige Functionen von n 2 oder k 

 sind, für den Multiplicator \x den Werth : }/ra. Da nun die Mo- 

 dulargleichung für die Transformation rater Ordnung: "^(A 2 , ^ 2 ) = o, 

 wenn man in derselben X 2 = l— x 2 setzt, d. h. also die Glei- 

 chung: \^(1 — &, ä) = o Werthe von k ergiebt, für welche Mul- 

 tiplication mit V — ra stattfindet, so enthält der gemeinsame 

 Factor von c£>(|/ra, k) und \[/ (1 — &, k) grade nur diejenigen 

 Werthe von &, für welche der Multiplicator gleich ]/n ist. Alle 

 diese Gröfsen k sind also durch eine Gleichung mit einander 

 verbunden, deren Coefficienten ]/n enthalten, und es werden auf 

 diese Weise nicht nur die zu den quadratischen Formen der 

 Determinante — ra gehörigen Werthe von k isolirt, sondern auch 

 für ra:EE3 mod. 4 je zwei complementäre Moduln, für ra==l aber 

 diejenigen beiden Arten von Moduln von einander getrennt, für 

 welche sich die entsprechenden quadratischen Formen durch den 

 auf die Zahl 4 bezüglichen Charakter unterscheiden. 



Zum Zwecke der allgemeinen Trennung der Genera und 

 also der quadratischen Formen von entgegengesetztem Charakter 

 in Bezug auf eine in ra enthaltene Primzahl p handelte es sich 

 nun darum, eine Gleichung für k aufzustellen, welche in ihren 

 Coefficienten die Quadratwurzel aus p enthielte, und zwar so 

 dafs deren Vorzeichen durch den Charakter der Formen, welche 

 den verschiedenen Werthen von k entsprechen, bestimmt sei. 

 Zur Ermittelung einer solchen Gleichung dienen folgende Be- 



