vom 26. Juni 1862. 371 



trachtungen. Wenn p eine ungrade Primzahl und X einen der 

 Moduln bedeutet, welche durch eine Transformation pter Ord- 

 nung aus y. entstehen, wenn ferner x 2 =k und \ 2 =l gesetzt 

 wird, so besteht bekanntlich zwischen / und k eine ganzzahlige 

 Gleichung (/?-f-l)sten Grades. Die Quadratwurzel aus der Dis- 

 criminante derselben ist, wie leicht zu sehen, eine ganzzahlige 

 Function von k multiplicirt mit K±y», wo das obere oder un- 

 tere Zeichen gilt, je nachdem /?EE=1 oder 3 mod. 4 ist. Hier- 

 nach wird für die Gleichung >oten Grades, deren Wurzeln p 

 von den transformirten Moduln: / , /,, .... l p _ i und deren 

 Coefficienten rationale Functionen des übrig bleibenden V und 

 k sind, die Quadratwurzel aus der Discriminante, abgesehen vom 

 Factor V ±/o, eine rationale Function von k und /', so dafs eine 

 Relation von der Form : 



n(/ r -/j=J/±^./(M') 



besteht. Nimmt man k gleich einem der Werthe, für welchen 

 complexe Multiplikation mit V — n stattfindet und rcEEO mod. p 

 ist, so giebt es unter den (/?-+- 1) Werthen von / einen und 

 nur einen, welcher ebenfalls zu jenen Werthen gehört. Be- 

 zeichnet man denselben mit /', so wird also /' als rationale 

 Function von k und ]/ n darstellbar und die Gleichung für 

 / , /,, .... l p _ t eine solche sein, deren Coefficienten nur k 

 und ]/ n rational enthalten. Diese Gleichung ist nun in dem 

 bezüglichen Sinne eine Abelsche Gleichung, wie namentlich 

 aus dem oben Gesagten unmittelbar hervorgeht, wenn man be- 

 rücksichtigt, dafs die Wurzeln zugleich Werthe des Moduls für 

 die Multiplikation mit V—np 2 ergeben. Demnach ist jedes der 

 \(p — 1) Producte: 



Qo-QQi -C+t) Qp-i -4,-1) 



eine rationale Function von &, ]/n und V — 1. Hieraus resultirt 

 also in Verbindung mit der oben angegebenen Form der Dis- 

 criminante eine Gleichung für k deren Coefficienten aufser \/n 

 und V— 1 noch V±.p enthalten, und eine genauere Untersuchung 

 zeigt, dafs dieselbe Gleichung für alle zur Multiplication mit 

 V— n gehörigen Werthe von k bestehen bleibt, jedoch so, dafs 

 für die Hälfte derselben das Zeichen jenes Products H also das 



