vom 30. Juni 1862. 427 



liegen, durch welche zwei, oder vier, oder sechs reale Normalen 

 an das Ellipsoid gezogen werden können, nicht leicht eine ge- 

 nauere Vorstellung zu gewinnen, und das angefertigte Modell 

 kann dazu dienen, falsche Vorstellungen über diese besondere 

 Fläche, so wie über die Krümmungsmittelpunktsflächen im all- 

 gemeinen, zu berichtigen. Namentlich wird das Vorurtheil, 

 welches sich bei einer oberflächlicheren Betrachtung der Ent- 

 stehungsweise dieser Fläche aufdrängt: dafs beide Schalen nur 

 in den vier Punkten zusammenhängen können, welche den Na- 

 belpunkten des Ellipsoids entsprechen, hierdurch widerlegt, in- 

 dem das Modell zeigt, dafs beide Schalen sich in einer ganzen 

 Curve doppelter Krümmung schneiden, welche in den, den Na- 

 belpunkten angehörenden Punkten, vier Spitzen hat. Diese auf- 

 fallende Erscheinung erklärt sich dadurch, dafs die gemeinsamen 

 Punkte beider Schalen, mit Ausnahme jener vier Punkte, nicht 

 entsprechende Punkte in Beziehung auf das Ellipsoid sind, 

 d. h. nicht solche, durch welche eine und dieselbe Normale des 

 Ellipsoids, beide Schalen berührend, hindurchgeht. Es sind 

 nämlich alle Normalen des Ellipsoids Tangenten beider Schalen 

 der Krümmungsmittelpunktsfläche und die beiden Berührungs- 

 punkte sind entsprechende Punkte derselben ; wenn man aber 

 umgekehrt das System sämmtlicher gemeinschaftlichen Tangenten 

 beider Schalen betrachtet, so sind in demselben alle Normalen 

 des Ellipsoids enthalten, aber aufserdem noch ein ganz anderes 

 Strahlensystem, dessen Strahlen die Eigenschaft, Normalen einer 

 Fläche zu sein, nicht besitzen. Die Tangenten der Durch- 

 schnittscurve sind gemeinschaftliche Tangenten beider Schalen, 

 aber sie gehören nicht dem Systeme der Normalen des Ellip- 

 soids an, sondern dem anderen Strahlensysteme. Selbst Monge, 

 der die Krümmungsmittelpunktsflächen in die Wissenschaft ein- 

 geführt und sehr vielseitig behandelt hat, ist hierin von einer 

 unrichtigen Ansicht befangen gewesen, indem er angenommen 

 hat, dafs der Durchschnittscurve der beiden Schalen bei jeder 

 Krümmungsmittelpunktsfläche stets eine Curve von Nabelpunk- 

 ten auf der ursprünglichen Fläche entsprechen müsse. In sei- 

 ner Application de l'analyse ä la Geometrie , pag. 137 der von 

 Hrn. Liouville besorgten Ausgabe, sagt er nämlich: Si les 



31* 



