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x nach y und z. Wenn also diese Coordinate, wie in unserem 

 Falle, richtig dargestellt werden soll bis auf Gröfsen der vier- 

 ten Ordnung exclusive, so mufs man in dem Ausdrucke von jc, 

 wegen der Erniedrigung der Ordnungen durch die Differentia- 

 tion, fortgegangen sein bis zur sechsten Ordnung ausschliefslich. 

 Die nehmliche Grenze wird festgestellt durch die analoge Be- 

 dingung, welche die Transversalcoordinaten der Krümmungsmit- 

 telpunkte betrifft. Hieraus würde man zunächst schliefsen, dafs 

 zwei Oberflächen, deren zugehörige Krümmungsmittelpunktsflä- 

 chen so nahe übereinkommen sollen, wie in dem von uns be- 

 trachteten Falle, eine Berührung fünfter Ordnung mit einander 

 eingehen müssen. In der That würde es sich so verhalten, 

 wenn bei der Bestimmung der Gestalt der Krümmungsmittel- 

 punkts-FIäche (Brennfläche) die den eben gebrauchten / und z 

 entsprechenden Stücke allein als kleine Gröfsen erster Ord- 

 nung betrachtet worden wären, und wenn also die vernachläs- 

 sigten Glieder durchaus nach diesen beiden Gröfsen der- 

 jenigen höheren Ordnung angehören müfsten, in welche sie 

 überhaupt zu zählen sind. Die Sache steht jedoch in unserem 

 Falle etwas anders, und die Folge davon ist, dafs nicht eine 

 wirkliche Berührung fünfter Ordnung, sondern nur eine Art 

 Äquivalent derselben zwischen dem Paraboloid und der Wel- 

 lenfläche bestehen mufs. Denn aufser den seitlichen Dimensio- 

 nen des in Betracht gezogenen Stückes der W T ellenfläche (wel- 

 che von der Öffnung des Apparates abhängen) ist in den Ent- 

 wicklungen auch noch die Entfernung des leuchtenden Punktes, 

 von welchem diese Fläche stammt, von der Axe als klein und 

 gleicher Ordnung mit jenen Gröfsen vorausgesetzt 1 ). Nennt 

 man diese Entfernung r, so wird man die nach y und z con- 

 stanten Coefficienten der Gleichung der Wellenfläche selbst 

 noch nach r entwickeln können, und Alles, was alsdann nach 

 den drei Gröfsen /, z, r in die sechste Ordnung oder eine 

 höhere fällt, entstellt die Ausdrücke der Coordinaten an der 



*) Es ist eigentlich das Verhältnifs der Entfernung des leuchtenden 

 Punktes von der Axe zu seiner Entfernung von der ersten brechenden 

 Flache, welches hier mafsgebend ist, so wie auch die Forderung, dafs y 

 und z klein seien, eigentlich auf ihre Verhältnisse zu den Krümmungshalb- 

 messern der Flächen zu beziehen ist. 



