vom 4. Juli 1867. 



Die Reihenentwickelung des Kreisbogens nach Potenzen der 

 Tangente ist auch noch heut zu Tage eine der einfachsten, 

 und um einen bei Mathematikern beliebten Ausdruck zu ge- 

 brauchen, eine der elegantesten Reihenentwickelungen, welche 

 die Analysis kennt. Sie enthält nur die ungraden Potenzen der 

 Tangente eine jede nur durch die entsprechende ungrade Zahl 

 dividirt, und hat abwechselnde Vorzeichen. Wenn gegenwärtig 

 diese Leibnizische Reihe in den Compendien der Analysis 

 unter einer grofsen Anzahl ähnlicher Resultate nur einen sehr 

 bescheidenen Platz einnimmt, so mufs man sich in die damalige 

 Zeit und auf den damaligen Standpunkt der mathematischen 

 Wissenschaften zurückversetzen, um ihre ganze Bedeutung ge- 

 hörig zu würdigen. Es war die Zeit, wo man eben anfing die 

 heilige Scheu vor dem Unendlichen zu überwinden, in welcher 

 alle Mathematiker des Alterthums befangen gewesen waren und 

 wo man die ersten Versuche machte dasselbe in die Mathe- 

 matik aufzunehmen. Das Unendliche hatte aber in der Mathe- 

 matik noch nicht das Bürgerrecht erlangt, weil es der Herr- 

 schaft des Verstandes, welche in dieser Wissenschaft eine ab- 

 solute ist, noch nicht vollständig unterworfen war. Die unend- 

 lichen Reihen namentlich waren damals noch etwas ganz Neues 

 und wenn sie auch in einzelnen Beispielen schon aufgestellt 

 waren, so hatten sie doch immer noch etwas räthselhaftes an 

 sich, denn das durch diese Beispiele thatsächlich festgestellte 

 Faktum, dafs durch eine in's Unendliche fortzusetzende Reihe 

 auf einanderfolgender Rechnungs-Operationen dennoch eine voll- 

 kommen endliche und bestimmte Gröfse erhalten werden könne, 

 war dem nur an endliche Gröfsen und an mathematische Opera- 

 tionen, welche ein bestimmtes Ende haben, gewöhnten Ver- 

 stände nicht leicht zugänglich. Das einfachste und zugleich 

 das älteste Beispiel einer unendlichen Reihe mit einer endlichen 

 vollkommen bestimmten Summe war die Reihe ^ -+- -J- -f- ^ 

 + . . . . etc. in's Unendliche, in welcher jedes folgende Glied 

 halb so grofs ist als das vorhergehende, w^elche in's Unendliche 

 fortgesetzt die Summe gleich Eins ergiebt; denn nimmt man 

 von einer Einheit die eine Hälfte und thut dazu die Hälfte der 

 anderen Hälfte, hierzu ferner die Hälfte des noch übrig bleiben- 

 den Viertels und fährt so fort, so wird, wenn man diese Opera- 



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