V0771 4. Juli 1867, 415 



zunächst mit der Aufgabe die kleinste von einem windschiefen 

 gradlinigen Vierecke begränzte Fläche zu bestimmen für den 

 Fall, dafs in derselben zwei Paare gleicher und in gegenüber- 

 liegenden Ecken zusammentreffender Seiten sich finden. Der 

 Verfasser legt dabei die im vergangenen Jahre von einem Mit- 

 gliede der Akademie in einer Abhandlung über die Minimal- 

 flächen entw^ickelten Formeln zu Grunde und kommt durch 

 eine scharfsinnige Analyse zu dem Resultate, dafs die in jenen 

 Formeln vorkommenden willkürlichen Funktionen deren Be- 

 stimmung für eine Fläche mit vorgeschriebener Begränzung im 

 allgemeinen bekanntlich mit unüberwindlichen Schwierigkeiten 

 verbunden ist, in dem betrachteten Falle durch hypergeometrische 

 Reihen dargestellt werden können. Dabei ergiebt es sich, dafs 

 dieselben sehr einfache algebraische Funktionen werden, wenn 

 alle Seiten des Vierecks einander gleich sind und jeder Winkel 

 60*^ beträgt, und dafs alsdann die Coordinaten eines beliebigen 

 Punktes der Fläche sich ausdrücken lassen als elliptische Inte- 

 grale erster Gattung, die denselben Modul haben und deren 

 Gränzen ebenfalls algebraische Funktionen zweier veränderlichen 

 Gröfsen sind. Es existirt daher eine elliptische Funktion von 

 der Beschaffenheit, dafs zwischen je drei Werthen derselben, 

 deren Argumente die Coordinaten eines beliebigen Punktes der 

 Fläche sind, eine bestimmte algebraische Gleichung besteht. 

 Die so sich ergebende Aufgabe fällt in den Kreis der in der 

 Preisfrage bezeichneten; es wird daher das zuerst behandelte 

 Problem nicht weiter verfolgt, sondern von da an die Untersu- 

 chung auf die angegebene specielle Fläche beschränkt. 



Der Verfasser hat nicht versucht die Gleichung der Fläche 

 aus den gefundenen Ausdrücken der Coordinaten ihrer Punkte 

 durch Rechnung abzuleiten; diefs würde nicht unausführbar 

 aber unzweckmäfsig gewesen sein, weil die auf diesem Wege 

 zu erlangende Gleichung trotzdem, dafs sie in Beziehung auf 

 die unmittelbar in ihr vorkommenden Gröfsen, die drei ellipti- 

 schen Funktionen irreduktibel ist, nicht blofs die definirte Fläche 

 und deren Fortsetzung, die nach analytischen Gesetzen untrenn- 

 bar mit ihr verbunden ist, darstellt, sondern aufserdem nocli 

 sieben andere, welche Verschiebungen von jener sind. Das 

 Verfahren, wodurch diese Schwierigkeit überwunden und eine 



