﻿64 Sitzung der 'physikalisch-mathematischen Klasse 



II. 



Es sei F(z , Zy , ... z„) eine quadratische Form von (i' + l) 

 Variabein z, und deren Determinante D von Null verschieden, fer- 

 ner sei 7) die Determinante der Form von v Variabein 



F(o,z ti z 2 , ... z v ) . 

 Alsdann verschwindet die Determinante der quadratischen Form 



D F—Dzl, 

 und diese lässt sich daher als eine quadratische Form von v linea- 

 ren Functionen 



Z\ -+- c x z , z 2 -+- c 2 z , ... z v 4- c v z Q 



darstellen. Dies gilt übrigens auch, wenn D = ist. 



Für den Fall D = ist eine der v partiellen Ableitungen 

 von F(0 , z x , ... z v ) eine lineare Function der übrigen. Wenn 

 demgemäss die nach z x genommene Ableitung als lineare Function 

 der nach z 2 5 z z ■> ••• genommenen resp. die Coefficienten b 2 , b 2 , ... 

 hat, so kommt 



F(o,z l9 ...*,) == JF(0, 0, z 2 + b 2 z x , ... *„ 4- MO , 

 und die Form F(z ,z x , ... 0„) erhält also, wenn 



4 = **+\*i (* = 2,3,...„) 



gesetzt wird, die Gestalt 



^oOo^o + «i^i + «2-^2 -1- - + a v z' v ) + -F(0 , 0, zj, ... *'„) . 



Da die Determinante von F(z , z x , ... z„) von Null verschieden 

 vorausgesetzt ist, so kann weder der Coefficient a x verschwinden 

 noch auch die Determinante der Form von v — 1 Variabein, welche 

 den zweiten Theil dieses Ausdruckes bildet. Nimmt man das Glied 

 a 1 z z 1 davon hinweg, so bleibt demgemäss eine quadratische Form 

 der v Variabein z , z 2 , z^ , ... z' v , für welche die obigen Bedingun- 

 gen erfüllt sind, die also, wenn ein bestimmtes Vielfaches von z\ 

 abgezogen wird, als eine quadratische Form von v — 1 Grössen 

 z\ -+- c 2 z , z\ -h c z z , ... z\ -+- c v z 



darstellbar ist. Hieraus folgt, dass sich eine quadratische Form 

 der Variabein z , z t , ... z v stets auf eine der beiden folgenden For- 

 men bringen lässt 



az\ + %(*\ -+- CyZo, ... z v -+- c v z Q ) 

 z (az + a'z x ) + %'(z 2 -+- b 2 z x + c 2 z , ... z v + b v z x -+- c v z Q ) , 



