﻿74 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



allmähligen, gleichzeitigen Reduction von zwei bilinearen Formen 

 beruht und also wohl principiell mit derjenigen übereinstimmen 

 dürfte, welche ich oben entwickelt habe. Doch scheint Hr. Jor- 

 dan die simultane Transformation von quadratischen Formen bei 

 Seite gelassen und sich nur auf bilineare beschränkt zu haben. 

 Dass dies in der That eine Beschränkung involvirt, sobald man 

 sich solcher Reductionsmethoden bedient, ohne die symmetrischen 

 bilinearen Polynome besonders zu berücksichtigen, ist leicht zu se- 

 hen. Bei dem oben auseinandergesetzten Reductionsverfahren sind 

 die bilinearen Formen nur als specielle quadratische Formen von 

 2n Veränderlichen zu betrachten, und es ist in den Entwickelun- 

 gen der Artt. I bis V sorgfältig Alles vermieden, was in diesem 

 besonderen Falle eine Vermischung der beiden Systeme von Va- 

 riabein verursachen könnte. Wenn im Gegensatz hierzu bei Hrn. 

 Weierstrafs der Fall bilinearer Formen als der allgemeinere 

 erscheint, so liegt dies darin, dass sich bei der dortigen explici- 

 ten Darstellung der bezüglichen Substitutionen die Übereinstimmung 

 der Transformation beider Variabeln-Systeme für den Fall, wo die 

 bilinearen Formen symmetrisch sind, ohne Weiteres ergiebt. Übri- 

 gens kann ich die Meinung des Hrn. Jordan nicht theilen, dass 

 es ziemlich schwer sei, der Weierstrafs' sehen Analyse zu folgen; 

 sie scheint mir im Gegentheil vollkommen durchsichtig zu sein, 

 und ich finde einen besonderen Werth derselben noch darin, dass 

 sie (im Falle, wo [P, Q] von Null verschieden ist) mit zwingender 

 Noth wendigkeit auf den naturgemässen Begriff der „Elementarthei- 

 ler" geführt und damit den Weg zu den oben entwickelten allge- 

 meineren, den Fall [P, Q] = o mit umfassenden Begriffen der „ele- 

 mentaren Schaaren" und „determinirenden Formenclassen" klar und 

 deutlich gezeigt hat. Es sind dies in der That, wie oben in der I 

 Einleitung und namentlich in den mit A, P, C bezeichneten Sätzen I 

 dargelegt worden ist, die wesentlichen Begriffe, die bei Behandlung 

 derjenigen Frage auftreten, welche in ihrer bestimmteren, schärfe- 

 ren Fassung an die Stelle des „dritten Jordanschen Problems" zu 

 setzen ist, nämlich: 



die nothw endigen und hinreichenden Bedingungen für die I 

 Äquivalenz von zwei beliebigen quadratischen oder bili- j 

 nearen Formenpaaren zu ermitteln, und für den Fall der I 

 Äquivalenz eine Methode zur Auffindung der Transfor- [ 

 mation anzugeben. 



