﻿154 Sitzung der 'physikalisch-mathematischen Klasse 



in denen 6 k r) lineare homogene Functionen der Ableitungen von 

 ucp -h «\|/ und, wie leicht zu sehen, von einander unabhängig sind. 

 Denkt man sich nämlich die Zahlen m, m', m" , ..., welche die Di- 

 mensionen der verschiedenen Gleichungen (G) bestimmen, ihrer 

 Grösse nach geordnet, so dass m^m'lim"... ist, und wird dann 

 ß ( J ) als eine lineare Verbindung derjenigen Grössen 6^ angenom- 

 men, in denen r <. £ ist, und derjenigen, in denen r = ^ aber 

 k < x. ist, so kann der erstere Theil von ( x ?) aus dem mit v* 

 multiplicirten Gliede in der ^ten Gleichung mit Hilfe der g — 1 

 vorhergehenden und der zweite Theil mit Hilfe der £>ten Gleichung 

 selbst weggeschafft werden. Um dabei negative Potenzen von v zu 

 vermeiden, genügt es für z<w (f ~ I] die qte Gleichung mit einer 

 Potenz von v zu multipliciren, deren Exponent m^^ l) — h ist. 

 Auf diese Weise entsteht eine neue Gleichung 



(G') 2(— l) k ß[^u h v k = (h + ?c = mM, k = 0, l, 2, ...), 



k 



in welcher 0^ = o ist, wenn g die grössere der Zahlen y. und 

 m (?_1J bedeutet. Diess kann aber nicht der Fall sein; denn die 

 Grössen 0, welche einer derartigen Gleichung (G) genügen, haben 

 überhaupt die Form 



(H) O = *>£ 2 i öi = w£ 2 + v^ , 2 = u£i -+- v£ 6 , ... 



wo £ 2 j £* 5 ^6 j ••• lineare Functionen der Variabein der Schaar be- 

 deuten; auf Grand der obigen Annahme müsste daher £ 2g -> als er- 

 ster Theil des betreffenden 0, ebenfalls gleich Null sein, und durch 

 Elimination der vorhergehenden Grössen £ aus den ersten g Glei- 

 chungen (H) würde eine Gleichung resultiren, deren Dimension 

 in Beziehung auf u und v gleich g — 1 also der ursprünglichen 

 Voraussetzung zuwider kleiner als m {i) wäre. Der Nachweis, dass 

 zwischen denjenigen Grössen 0, welche einen und denselben oberen 

 Index haben, keine lineare Relation bestehen kann, ist in ähnlicher 

 Weise schon in meiner Arbeit vom Jahre 1868 gegeben worden. 



Die Reihe der Zahlen m f m' 9 m" 9 ... bleibt natürlich bei irgend 

 welcher linearen Transformation der Schaar ucp 4- v\Js ebenso un- 

 geändert wie die Reihe der determinirenden Classen, und diese 

 Bemerkung hätte als eine unmittelbare Folgerung aus meiner Ar- 

 beit vom Jahre 1868 eigentlich schon in der Einleitung meines 

 vorigen Aufsatzes ihre Stelle finden sollen. Da nur die Summe 

 der Zahlen m, nicht aber die Reihe der einzelnen Zahlen selbst 



