﻿vom 16. März 1874. 207 



Wortes. 1 ) Behufs Herleitung eines solchen Systems braucht man 

 freilich zuerst jene Zurückführung zweier Formen auf Aggregate 

 von Reducirten, aber man darf hierbei nicht stehen bleiben, son- 

 dern alsdann hat man noch für die einzelnen Reducirten die zuge- 

 hörigen Invariantensysteme zu ermitteln und gelangt eben dadurch 

 von dem bloss formalen Begriffe der „Reducirten" zu dem höhe- 

 ren der „elementaren Schaaren". Da nämlich die oben erwähnte 

 Restriction der Äquivalenzbedingungen für elementare Schaaren 

 nicht eintritt, so sind deren Classen durch die zugehörigen Reihen 

 von determinirenden Formenclassen vollständig charakterisirt, und 

 diese Reihen vertreten also durchaus die Stelle von Invarianten- 

 systemen. Demgemäss ist ferner für eine beliebige Classe von 

 Schaaren S die Gesammtheit derjenigen Reihen determinirender 

 Formenclassen charakteristisch, die den verschiedenen elemen- 

 taren Schaaren entsprechen, in welche die Schaar S zu zerlegen 

 ist. Alle diese Reihen enthalten zusammen genau so viel Glieder 



1 ) In der arithmetischen Theorie der Formen muss man sich freilich 

 mit der Angabe eines Verfahrens zur Entscheidung der Frage der Äquiva- 

 lenz begnügen und das betreifende Problem wird deshalb auch ausdrücklich 

 in dieser Weise formulirt (cf. Gauss: Disquisitiones arithnieticae, Sectio V, 

 Artt. 173 sqq., 195 sqq.). Das Verfahren selbst beruht auch dort auf dem 

 Übergange zu reducirten Formen; doch ist dabei nicht zu übersehen, dass 

 denselben in den arithmetischen Theorieen eine ganz andere Bedeutung zu- 

 kommt als in der Algebra. Da nämlich die Invarianten äquivalenter Formen 

 dort ihrer Natur nach nur zahlentheoretische Functionen der Coefficienten 

 sind, so kann es nicht befremden, wenn dieselben zwar direct definirt aber 

 nicht explicite sondern nur als Endresultate arithmetischer Operationen dar- 

 gestellt werden können; denn ganz ähnlich verhält es sich mit den meisten 

 arithmetischen Begriffen, z. B. schon mit jenem einfachsten Begriffe des 

 grössten gemeinsamen Theilers. Man ist deshalb wohl berechtigt, z. B. im 

 Falle binärer quadratischer Formen von negativer Determinante, die Coeffi- 

 cienten der reducirten Form selbst als die Invarianten der Classe aufzufas- 

 sen ; sieht man aber von der Beschränkung ab, dass die Invarianten ganzzah- 

 lig sein sollen, so gewähren die singulären Moduln der elliptischen Functionen, 

 wie die Her mit eschen und meine eigenen Untersuchungen ergeben haben, 

 durchaus vollkommene Invarianten jener arithmetischen Formenclassen (cf. 

 mein Aufsatz „Über die Auflösung der Pell sehen Gleichung mittels ellipti- 

 scher Functionen" Monatsbericht vom Januar 1863). 



