﻿vom 16. März 1874. 209 



ucp + vp = 2 (u k cp k H- t^*) (A = 1, 2, 3, ...), 



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so lassen im Falle bilinearer Formen stets alle diejenigen Theil- 

 Aggregate, in denen die mit u k , v k bezeichneten linearen Functio- 

 nen von u und v identisch sind, für sich allein Transformationen 

 in sich selbst zu, aus denen sich alle zusammensetzen. Dabei ist 

 jedoch zu bemerken, dass es sich nur darum handelt, ob eine Iden- 

 tification der Functionen u k ,v k möglich ist; denn dieselben sind 

 durchaus nicht vollständig bestimmt und können bei elementaren 

 Schaaren mit verschwindender Determinante sogar ganz beliebig 

 angenommen werden, wenn man sich nur bei der Auswahl der 

 Grundformen cp k und yf/ k darnach richtet. Diese Unbestimmtheit 

 existirt aber nur bei jener formalen Definition des Zusammenhangs 

 zwischen den verschiedenen Schaaren eines und desselben Theil-Ag- 

 gregats. An sich ist dieser Zusammenhang völlig bestimmt, und 

 zwar so, dass die Determinanten aller auf diese Weise zusammen- 

 gehörigen elementaren Schaaren eine und dieselbe lineare Function 

 von u , v als Factor enthalten. Diejenigen elementaren Schaaren, 

 deren Determinante gleich Null ist, gehören demgemäss zu jedem 

 Theil-Aggregate, welches aus den verschiedenen elementaren Schaa- 

 ren zu bilden ist. So giebt es z. B. in der Schaar 



(u 4- v) x y -\-u (x x y x 4- x 2 2/2 + #3 2/3) + » (fr Vx + #* yd 



zwei solcher Theil-Aggregate, zu deren jedem die Schaar 

 y s (ux 3 -{- vx±) gehört, und die ganze Schaar bleibt ungeändert, 

 wenn man die Variabein y , y x , x 3 , # 4 resp. durch 



2/0 — pt/3 > yx — qys » ^ + px Q -+- qx x , # 4 + px 4- qx 2 



ersetzt. Die Schaar, die aus den beiden Grundformen 



#i2/i + #22/2 + frV* + Wi + ^52^5 , fryi + ^32/2 + ^52/4 



entsteht und eine von Null verschiedene Determinante hat, geht 

 durch folgende Transformation in sich selbst über: 



x\ = x x 4- ax 2 4- bx z 4- cx± 4- dx b , #2 = #2 + 0^3 + c^ 5 , 



x\ = # 3 , 4 = «#2 -+- /3^ 3 H- %i -4- 7^5 3 4 = «#3 + #5 ; 



2/i = 2/i)2/2 = «2/i + 2/2 + «2/i * 2/3 = &2/i ■+■ ß 2/2 + 2/3 + ßyl + «2/5^ 



2/4 = cyi + 2/4 > ^5 = <tyl + C2/2 + 72/4 + 2/5 • 



