﻿vom 16. März 1874. 211 



wenig Nutzen ziehen können. Wenn auf diese Weise bei einzel- 

 nen Fragen die eine oder die andre der beiden Methoden grösse- 

 ren Vortheil gewähren mag, so sind doch beide zur Herstellung 

 der wesentlichen Grundlagen für die Theorie der Schaaren ganz 

 gleich geeignet. Den dabei zu befolgenden Gang will ich hier in 

 seinen Hauptzügen kurz andeuten und daran eine übersichtliche 

 Darlegung der eigentlichen Ideen und Principien knüpfen, auf de- 

 nen die beiden Methoden selbst beruhen. 



Wie sehr die Herleitung der verschiedenen Eigenschaften von 

 Schaaren quadratischer Formen an Klarheit und Einfachheit ge- 

 winnt, wenn man jene Reduction auf gewisse einfache Ausdrücke, 

 die Hr. Jordan ganz passend „reducirte" genannt hat, voran- 

 nimmt, das habe ich bereits in meiner Arbeit vom Jahre 1868 für 

 diejenigen Schaaren gezeigt, welche definite Formen enthalten und 

 dort als Schaaren der ersten Art bezeichnet sind 1 ). Diese Ein- 



1 ) Da die Schaaren der ersten Art für viele andre mathematische Fra- 

 gen von besonderer Bedeutung sind, so hatte sich ihnen früher die Unter- 

 suchung fast ausschliesslich zugewendet, und selbst in der ersten diesen Ge- 

 genstand betreffenden Wei er straf s sehen Abhandlung vom Jahre 1858, in 

 welcher zuerst das Problem der gleichzeitigen Transformation zweier quadra- 

 tischer Formen allgemeiner gefasst wird, beziehen sich die ganz fertigen und 

 hauptsächlichen Resultate — gemäss der ausgesprochenen Tendenz der Ar- 

 beit — auf den Fall, wo jede der beiden quadratischen Formen reell und 

 wenigstens die eine definit ist. Erst die zweite Weierstrafssche Arbeit 

 vom Jahre 1868 enthält in der weiteren simultanen Umwandlung der zu- 

 sammengehörigen (im Monatsbericht von 1858) mit S-^ , 0^ bezeichneten 

 Functionen die vollständige Erledigung des Transformationsproblems für be- 

 liebige Schaaren vou nicht verschwindender Determinante. Die Ausführun- 

 gen, welche ich selbst damals unmittelbar daran geknüpft habe, beziehen sich 

 aber in ihrem ersteren Theile nur auf den Inhalt der früheren Weier- 

 strafsschen Arbeit und ergeben die wichtigsten Resultate derselben mittels 

 einer andern Methode; sie zeigen, wie die gleichzeitige Verwandlung zweier 

 quadratischer Formen in eine Summe von Quadraten, falls sie überhaupt 

 möglich ist, durch ein einfaches und allgemeines Verfahren bewirkt werden 

 kann, das also namentlich jenen Beschränkungen nicht unterworfen ist, 

 welche — wie schon bei Weierstrafs hervorgehoben wird — keineswegs 

 durch die Natur der Sache sondern nur durch die Unvollkommenheit der 

 früheren Methoden bedingt waren, 



