﻿212 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



sieht veranlasste mich eben, jene Reductionsmethode weiter auszu- 

 bilden und auf ganz beliebige Schaaren anwendbar zu machen. 

 Aber man kann ebenso gut die Weierstrafssche Methode be- 

 nutzen, um zu zeigen, dass sich jede beliebige Schaar in eine 

 „reducirte Schaar" d. h. in ein Aggregat von Schaaren transfor- 

 miren lässt, deren Grundformen 



sind; nur muss man, falls die Determinante der Schaar gleich 

 Null ist, noch meine darauf bezüglichen Entwickelungen hinzuneh- 

 men. Übrigens wird hierbei nur jener wichtigste Theil von der 

 Weierstrafsschen Analyse gebraucht, welcher zuerst auf die 

 „reducirten Schaaren" geführt hat, nämlich derjenige, welcher 

 im § 2 der mehrfach erwähnten Abhandlung 1 ) enthalten ist, und 

 man kann sogar — freilich unter Verzicht auf den Vortheil der ge- 

 netischen Darstellung — von der dort vorausgeschickten Erörterung 

 des Begriffes der Elementartheiler dabei absehen. — Nachdem so 

 auf die eine oder die andre Weise der Hauptpunkt erledigt und 

 nachgewiesen ist, dass in jeder Classe von Schaaren eine reducirte 

 existirt, ist die „Reihe der determinirenden Formenclassen" einzu- 

 führen und zu zeigen, dass dieselbe für alle Schaaren einer Classe 

 identisch ist, d. h. dass der grösste gemeinsame Theiler der Un- 

 terdeterminanten von uep + v-^y bei jeder linearen Transformation 

 ungeändert bleibt. Diess erhellt aber ganz unmittelbar, wenn man 

 sich die linearen Substitutionen in lauter elementare zerlegt denkt 

 d. h. in solche, die durch folgende n + 1 Transformationen der n 

 Variabein x bezeichnet sind 2 ): 



1) Xi = — x k , x k = x[ , und wenn i < k ist: «r^ = x\ , 

 wo nach einander k = 2, 3, ... n zu setzen ist; 



2) Xi = x[ + x\ , und wenn % > 1 ist: x i = x\ , 



3) x x = cx[ , und wenn i > 1 ist: x t = x\ ; 



2 ) Weierstrafs: Zur Theorie der bilinearen und quadratischen For- 

 men. Monatsbericht vom Mai 1868. 



2 ) Cf. meine Arbeit „über bilineare Formen" Monatsbericht vom October 

 1866 pag. 609. 



