﻿vom 16. März 1874. 213 



denn bei jeder solchen elementaren Transformation geht eine Un- 

 terdeterminante nur entweder in eine andre oder in die Summe 

 von zweien über, oder sie wird nur mit dem Substitutionscoefficien- 

 ten c multiplicirt. — Nunmehr sind die Schaaren hervorzuheben, 

 welchen die einfachsten Reihen determinirender Formenclassen ent- 

 sprechen, d. h. solche, in denen das erste Glied nur die Potenz 

 einer linearen Function von u und v oder Null und jedes der übri- 

 gen Glieder gleich Eins ist. Die Reducirte einer solchen Schaar ist: 



(u -+- cv) (XiX-2 + X 3 Xi + •••) -+- v (x 2 x 3 + x±x b ■+• •••) , 



in welcher beide Formen gleich viel Glieder enthalten, wenn die 

 Determinante gleich Null ist, während andernfalls die erste Form 

 ein Glied mehr enthält als die zweite. Eine solche reducirte 

 Schaar ist ebenso wie die ganze Classe von Schaaren, zu denen 

 sie gehört, durch die Anzahl der Variabein und durch den Werth 

 ihrer Determinante, die entweder gleich Null oder gleich (u H- cv) n 

 ist, vollständig bestimmt, da im ersteren Falle c = genommen 

 werden kann, und jede Schaar einer solchen Classe d. h. jede 

 Schaar, zu der eine jener einfachsten Reihen von determinirenden 

 Classen gehört, ist demgemäss als „elementare Schaar" zu be- 

 zeichnen. Da nun die reducirte einer beliebigen Classe von 

 Schaaren ein Aggregat von reducirten elementaren Schaaren ist, 

 so besteht für jede Schaar ucp-h v*}/ eine Gleichung 



u<p-bvy}/ = X((u 4- C k v)cp k + v^ (&= 1, 2, 3,...), 



in welcher jedes einzelne Glied auf der rechten Seite eine elemen- 

 tare Schaar repräsentirt. Es lässt sich ferner, wie oben näher 

 ausgeführt worden, einerseits aus den Determinanten und Glieder- 

 zahlen der einzelnen elementaren Schaaren die zu ucp -f- v^ gehö- 

 rige Reihe der determinirenden Formenclassen bilden, andrerseits 

 können aus dieser Reihe und aus jener Reihe von Zahlen, welche 

 die Dimension der „determinirenden Gleichungen" angeben, die 

 Determinanten und Gliederzahlen der einzelnen elementaren Schaa- 

 ren hergeleitet werden, und man erkennt somit, dass die erwähn- 

 ten beiden Reihen für alle zu einer und derselben Classe gehöri- 

 gen Schaaren durchaus charakteristisch sind. 



Um nunmehr die Weierstrafssche Reductionsmethode zu 

 entwickeln sei ucp -+- v\/ eine Schaar bilinearer Formen der Varia- 

 bein x, y und ihre Determinante von Null verschieden. Setzt man 



