﻿218 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Ebenso wie die Weierstrafssche Methode basirt auch die 

 meinige im Falle bilinearer Formen wesentlich auf jener schon 

 oben citirten Jacobischen Transformation: 



(G) 2 a ik x iVk = ZA k X k Y k ft k = 1, 2, ... «j, 



i,k k 



und es sind hierbei X k , Y k resp. lineare Functionen der gleichna- 

 migen Variabein x k , y k und derer die darauf folgen. In dieser 

 Fassung ist das Jacobische Resultat zwar an die Bedingung ge- 

 knüpft, dass keine der partialen Determinanten 



\a rs \ (r,s= l,2,...m; m— 1,2,. ..«) 



verschwinde, aber die Deduction, aus der dasselbe hervorgegangen, 

 ist ganz allgemein anwendbar, auch dann, wenn die Determinante 

 \a ik \ selbst gleich Null ist. Lässt man indessen diesen Fall bei Seite, 

 so können nicht die sämmtlichen aus den ersten n — 1 Horizon- 

 talreihen und irgend welchen n — 1 Verticalreihen zu bildenden 

 Determinanten (n — l)ter Ordnung verschwinden, und es muss da- 

 her eine grösste Zahl k n existiren, wofür 



\a rs \ (r= 1,2, ...n— 1; s = l,...n ausser k n ) 



von Null verschieden ist. Bedeutet nun ebenso k n _ x die grösste 

 der Zahlen s, wofür die Determinante (n — 2)ter Ordnung 



\a pq | (p = 1,2,...»— 2; q = 1, ...n ausser £ M _i und k n ) 



nicht verschwindet u. s. f., so ist die Jacobische Analyse ohne 

 Weiteres anwendbar, wenn die Variabein x in ihrer natürlichen 

 Reihenfolge genommen werden, die Variabein y aber in derjenigen, 

 welche durch die Folge der Indices 



k x , k 2 , ...k n 



bezeichnet ist. Es ergiebt sich daher eine der obigen durchaus 

 analoge Gleichung 



(G') X a ik x iVk == % A' h x' h y' h (Ä, *, h = 1, 2, ... «), 



i, k h 



in welcher x' hi y f h resp. lineare Functionen von höchstens w— h + 1 

 Variabein x^y sind. Aber während in x) t , genau wie oben, ausser 

 x h selbst nur die darauf folgenden Veränderlichen x vorkommen 

 können, enthält y h erstens die Variable y, deren Index k h ist, und 

 zweitens nur solche, die zugleich bei der natürlichen und bei jener 

 neuen Anordnung darauf folgen. In der mit y' h bezeichneten linea- 



