﻿vom 16. März 1874. 221 



Complex C 2 i gehörige Veränderliche mit einer linearen Function 

 der übrigen multiplicirt, welche je eine der Variabein von C 12 ent- 

 hält und an deren Stelle als neue Variable zu nehmen ist. — Nach 

 dieser Reihe von Operationen sind Schaaren folgender Art 



uxy , (ux -\- vx')y , (uy + vy')x , u(xy' -\- x'y) -f- vxy 

 abzusondern, und es bleibt eine Schaar mit den Grundformen 



(3'C) ^z k z v+k H- * (z 2v+1 , z 2v+2 , ...) 



* {Je = 1, 2 ...) 



(33) ^z v+k z 2u+k -f- ¥ {z 3v+ i , z Zv+2 , ...) , 



k 



wenn mit ^ , z 2 , ... die Veränderlichen x , ?/ zusammen bezeichnet 

 werden. Da nun für die Schaar m* + üT, welche weniger als n 

 Variabein enthält, die Existenz einer Reducirten w$' + v¥' voraus- 

 gesetzt werden kann, so hat man an Stelle von (%) und (33) resp. 



* (* = 1,2,...) 



(SB') Zz v+k z 2v+k + ¥'(*,\+i , 4,+2 , .-) 



k 



zu nehmen, darin z 2v+1 , z 2tr+2 , ... z Zv als lineare Functionen von 

 4o+i j4+») ••• zu betrachten und endlich (%') und (33') gleichzei- 

 tig in die beiden Formen 



(r) xz\z% k +$u +l ,i +2 ,..) 



* (Je = 1, 2, ...) 

 (33°) 2^-hA-h* + *°(4„ + i , s5„ +8 , ...) 



zu verwandeln, welche die Grundformen einer reducirten Schaar 

 repräsentiren. Diese Verwandlung findet sich im Art. IV meines 

 Aufsatzes vom Januar sowie im Art. III des Nachtrages vom Fe- 

 bruar d. J. näher ausgeführt, und es ist dabei nur noch zu beach- 

 ten, dass bei der angenommenen Bezeichnungsweise diejenigen bei- 

 den Arten von elementaren Schaaren ununterschieden bleiben, wel- 

 che durch Vertauschung der beiden Variabein Systeme aus einander 

 entstehen. Für den Fall verschwindender Determinanten sind diess 

 in der That zwei verschiedene Arten von Schaaren, und da ihnen 

 auch zwei verschiedene Arten von determinirenden Gleichungen ent- 

 sprechen, je nachdem die nach den Variabein des einen oder des 

 andern Systems genommenen Ableitungen darin vorkommen, so be- 

 dingt diess für den Fall bilinearer Formen einige leicht zu überse- 

 hende Modificationen der für Schaaren quadratischer Formen an- 

 gegebenen Resultate. 



