﻿222 Sitzung der physikalisch-mathemathischen Klasse 



Legt man bei der Bildung einer Schaar zwei bilineare For- 

 men zu Grunde, die nach Jacobi als „conjugirt" zu bezeichnen 

 sind, d. h. zwei Formen, deren eine die transponirte der andern 

 ist, so entsteht eine Schaar 



X {ua ik -+- va ki ) 3B { y k (•, k = 1, 2, ... »), 



i,k 



und die Zerlegung derselben in elementare führt auf eben solche 

 Schaaren mit conjugirten Grundformen. Dabei sind jedoch im All- 

 gemeinen je zwei elementare Schaaren paarweise zusammenzufas- 

 sen, z. B. so, dass Schaaren entstehen, deren Grundformen 



(g) aXx 2i 7j 2i+1 ^bXy 2i x 2i+1 ^cXx n y 2k _ 1 + dXy 2k x 2k _ 1 Q^lXl+l) 



und ihre conjugirte sind, und deren Determinante, je nachdem n 

 ungrade oder grade ist, den Werth Null oder 



{au + bv) m (a» + bu) m (n = 2m—2) 



hat. Es treten aber auch einfache elementare Schaaren auf, de- 

 ren Grundformen 



(SO 



und ihre conjugirte sind, und deren Determinante den Werth 



(w + (-l)^) w+1 



hat. In dem Ausdrucke {%') fällt für n = die auf i bezügliche 

 Summation fort, und aus (g) entstehen für n = jene Schaaren 



{au H- bv)x Q y ] _ -+- {av -h bu)x x yQ , 

 welche bei der Zerlegung in elementare allein auftreten, wenn 



| u a ik H- v a ki | (», £ = 1, 2, ... w) 



lauter verschiedene Factoren enthält. 1 ) 



Man kann den Äquivalenzbegriff für bilineare Formen beschrän- 

 ken und zwei Formen 



-VikViVk » 2<4^-24 (*,£ = 1, 2, ... n) 



ü k ü k 



nur dann als äquivalent gelten lassen, wenn die eine derselben in 

 die andre durch die Substitutionen 



übergeführt wird, d. h. also wenn die Transformation für beide 



k = n 







i = m— 1 









2(- 



fc=o 



-iy 



XkVn- 



-* + *(- 



-iyx 



ii/n- 



■i-l 



1 ) Vgl. meine Arbeit „über bilineare Formen" Monatsbericht v. Octob. 1866. 



