﻿vom 16. März 1874. 223 



Systeme von Variabein identisch ist. Alsdann gehen gleichzeitig 

 die transponirten Formen 



- <% *i Uk i - a 'ki 4 Vk & * = 1, 2, ... n) 



i, k i, k 



durch eben dieselbe Transformation in einander über, und jene 

 Äquivalenz von zwei bilinearen Formen 



- «« ^iVk ■> - a 'ik%'i Vk & k=l,2, ... n) 



i,k i,k 



hängt auf diese Weise unmittelbar mit der Äquivalenz der Schaaren 

 X (ua ik + va M ) x^k > 2 ( ua 'ik + va 'kd *{y* (»» * = 1, 2 , ... n) 



zusammen, deren je zwei Grundformen einander conjugirt sind. 1 ) 

 So resultirt namentlich aus der Unzerlegbarkeit von elementaren 

 Schaaren auch die Unmöglichkeit, irgend welche der Formen % durch 

 eine für beide Variabeinsysteme übereinstimmende Transformation 

 in ein Aggregat bilinearer Functionen von weniger Variabein zu 

 verwandeln, und es widerlegt sich damit die Jordan sehe Behaup- 

 tung, dass jedes bilineare Polynom durch eine solche Transforma- 

 tion auf eine Summe von bilinearen Functionen folgender Art 



xy , xy' — x'y , xy-{-x'y — xy' , xy -\- x'y f + A (x'y — xy') 



zurückführbar sei, deren jede höchstens vier Variabein enthält. 2 ) 



Die Methode, mit Hilfe deren Hr. Jordan dieses unrichtige 

 Resultat erlangt hat, muss natürlich ihre Mängel haben, und einer 

 derselben ist auch leicht erkennbar. Es werden nämlich in den 

 mit No. 7 und 8 bezeichneten Abschnitten seiner bezüglichen Ar- 

 beit 3 ) Substitutionen benutzt, w r elche nicht anwendbar sind, sobald 

 die a. a. O. mit D und A x bezeichneten Nenner verschwinden. 



Es war zu erwarten, dass die Behandlung der allgemeineren 

 Frage, welche die Äquivalenz von Schaaren bilinearer Formen be- 

 trifft, auch über die speciellere der Äquivalenz von bilinearen For- 

 men — in dem oben angegebenen engeren Sinne des Wortes — Auf- 

 schluss ertheilen würde, und ich habe deshalb bei Hrn. Jordan die 

 Hinweisung darauf vermisst, dass seine beiden ersten Probleme als 



x ) Vgl. meine schon citirte Arbeit „über bilineare Formen" Monatsbe- 

 richt vom October 1866 p. 600. 



2 ) Comptes Rendus Tome LXXVII p. 1490 u. 1491. Liouville's Jour- 

 nal Ser. IL Bd. XIX. p. 45 u. 46. 



3 ) Liouville's Journal Ser. IL Bd. XIX. p. 43, 44 u. 45. 



