﻿226 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Hauptzügen entwickelt worden ist. Denn so lange man es nicht 

 wagte die Voraussetzung fallen zu lassen, dass die Determinante 

 nur ungleiche Factoren enthalte, gelangte man bei jener bekannten 

 Frage der gleichzeitigen Transformation von zwei quadratischen 

 Formen, welche seit einem Jahrhundert so vielfach, wenn auch 

 meist bloss gelegentlich, behandelt worden ist, nur zu höchst dürf- 

 tigen Resultaten, und die wahren Gesichtspunkte der Untersuchung 

 blieben gänzlich unerkannt. 1 ) Mit dem Aufgeben jener Voraus- 

 setzung führte die Weierstrafssche Arbeit vom Jahre 1858 

 schon zu einer höheren Einsicht und namentlich zu einer vollstän- 

 digen Erledigung des Falles, in welchem nur einfache Elementar- 

 theiler vorhanden sind. Aber die allgemeine Einführung dieses 

 Begriffes der Elementartheiler., zu welcher dort nur ein vorläufiger 

 Schritt gethan war, erfolgte erst in der "Weierstrafs sehen Ab- 

 handlung vom Jahre 1868, und es kam damit ganz neues Licht 

 in die Theorie der Schaaren für den Fall beliebiger, doch von 

 Null verschiedener Determinanten. Als ich darauf auch diese letzte 

 Beschränkung abstreifte und aus jenem Begriffe der Elementarthei- 

 ler den allgemeineren der elementaren Schaaren entwickelte, ver- 

 breitete sich die vollste Klarheit über die Fülle der neu auftreten- 

 den algebraischen Gebilde, und bei dieser vollständigen Behand- 

 lung des Gegenstandes wurden zugleich die werthvollsten Einblicke 

 in die Theorie der höheren, in ihrer wahren Allgemeinheit aufzu- 

 fassenden Invarianten gewonnen. 



Die oben erwähnte Schwierigkeit, durch die ich auf den Ge- 

 danken jener Gruppenbildung geführt worden bin, macht sich auch 

 bei dem von Hrn. Jordan entwickelten Reductionsverfahren gel- 

 tend, aber sie ist dort nicht wirklich behoben, sondern nur durch 

 eine unausgesprochene und unzulässige Voraussetzung bei Seite 

 geschoben. Hr. Jordan stellt nämlich im 12. Abschnitte seines 

 Aufsatzes „über bilineare Formen" eine Gleichung auf 2 ): 



Q == XiVi + -Xi^i + (a?i + a 2 x 2 H h «*a) Yi + -RJ , 



welche auf der an sich unberechtigten Annahme beruht, dass die 

 lineare Function der Variabein x, welche mit Y x multiplicirt ist, 



l ) cf. die Anmerkung auf pag. 211. 



») Liouville's Journal Ser. II Bd. XIX pag. 47. 



