﻿vom 16. März 1874. 241 



men in Beziehung auf alle primitiven Wurzeln einer Gleichung von 

 der Form 



X-l 



ß n ~ = 1 . 



Wenn nämlich 1, m, m\ m" alle ungeraden Divisoren von X — 1 



sind, so ist: 



P = N<p(ß) . N(p(ß m ) . Nq>(ß m ') 



Das Produkt P besteht also aus eben so vielen rationalen und 

 ganzzahligen Faktoren, als es ungerade Divisoren der Zahl X — 1 

 giebt. 



Die complexe Zahl (p(ß m ) enthält stets den Faktor X, ausser 

 für den Fall m = 1, wo ihr stets einer der idealen Primfaktoren 



des X fehlt; deshalb enthält Ny(ß m ) den Faktor X nothwendig so 



x-i 



vielmal als die Gleichung ß m = 1 primitive Wurzeln hat, also 

 sovielmal, als es Zahlen giebt, welche kleiner als und zu 



relative Primzahlen sind. Nur für m = 1 enthält cp(ß) 



m 



nicht den Faktor X und Nq)(ß) enthält den Faktor X im Allge- 

 meinen nur einmal weniger, als die Anzahl der relativen Primzah- 

 len zu X — 1, welche kleiner sind als X — 1. Ebenso enthält auch 

 cp(ß m ) stets den Faktor 2, mit alleiniger Ausnahme des Falles, 

 wo m der grösste ungerade Divisor von X — 1 ist. N(p(ß m ) ent- 

 hält also den Faktor 2 nothwendig ebenso vielmal als die Anzahl 



X— 1 



der primitiven Wurzeln der Gleichung ß m =1 beträgt und nur 

 in dem Falle, wo m der grösste ungerade Divisor von X — 1 ist, 

 ist die Anzahl dieser Faktoren 2 um eine Einheit niedriger. Man 

 sieht hieraus, wie die in P nothwendig enthaltenen Faktoren 2 und 



X, deren jeder darin mal enthalten sein muss, sich auf die 



einzelnen Normen vertheilen, aus welchen P zusammengesetzt ist. 

 Ausser diesen in P nothwendig vorkommenden Faktoren 2 und X 

 können diese beiden Faktoren für besondere Werthe des X noch 

 öfter in P enthalten sein, und es sind grade die Fälle, wo X noch 

 ausserdem inP, also in P' enthalten sind, welche hier unsere be- 

 sondere Aufmerksamkeit fesseln. 



