﻿398 Nachtrag. 



Z(ua ik + va ki )x iyk , Z(ua' ik + va ki )x' iyk M = 1,2, ...2m) 



i, k U * 



durch dieselbe lineare Transformation in einander übergehen. Als- 

 dann wird für den Fall, dass die Determinante 



| u a ik + v a ki | (*, h = 1, 2, ... 2m) 



aus lauter verschiedenen Factoren besteht, noch gezeigt, dass jene 

 nothwendige Bedingung der Transformirbarkeit auch eine hinrei- 

 chende ist, und dieser Nachweis wird darauf gegründet, dass jede 

 bilineare Form sich unter der angegebenen Voraussetzung durch 

 congruente Transformation in ein Aggregat von elementaren Formen 



Pk x kVm+k + QkVk^m+k t* = *> 2 > - m) 



verwandeln lässt. Aber das angegebene Resultat ist in Wahrheit 

 nicht an jene Restriction gebunden, noch auch auf den Fall einer 

 graden Anzahl von Variabein beschränkt, sondern ganz allgemein 

 giltig, und diess ist in entsprechender Weise mit Hilfe einer all- 

 gemeinen Zerlegung der bilinearen Formen in „elementare" zu 

 beweisen, welche den Hauptgegenstand der vorliegenden Mitthei- 

 lung bildet. Die erwähnte Zerlegung einer beliebigen bilinearen 



Form 



2a tt *«y t (i,k = l,2,...n) 



i,k 



lässt sich freilich aus derjenigen der „zugehörigen" Schaaren 



X (ua ik -h va ki ) x iVk ih * = 1. 2 > r n % 



i,k 



ableiten, aber man kann auch — wie im Folgenden geschehen soll — 

 die Methode, mit Hilfe deren ich die Zerlegung der Schaaren in 

 elementare bewirkt habe, direct zur congruenten Transformation 

 einer beliebigen bilinearen Function in ein Aggregat von elemen- 

 taren benutzen. 



§ i. 



Die Jacobische Transformation quadratischer und bilinearer Formen. 



Bedeutet F(z l , z 2 ... z n ) eine beliebige homogene Function zwei- 

 ten Grades, F k deren nach z k genommene Ableitung und F ik die 

 Derivirte von F k nach z i? so ist jeder der beiden Ausdrücke 



FlF-F^F^ + ^F^Ft , F ü F kk F-iF ü Fl 

 von z k und die Differenz derselben auch von z t unabhängig. Für! 



