﻿Nachtrag. 409 



§ 2. 

 Die Reduction der bilinearen Formen mittels congruenter Transformation. 



Die Art und Weise, wie die beiden Reihen von Variabein 

 einer bilinearen Form einander zugeordnet werden, kommt nicht 

 bloss, wie in der Einleitung bemerkt worden, bei der Transforma- 

 tion zur Geltung, sondern sie ist schon für die Definition der De- 

 terminante in gewisser Hinsicht als mafsgebend zu betrachten. 

 Denn es wird z. B., wenn — wie es auch in der Folge geschehen 

 soll — die correspondirenden Variabein x , y stets mit gleichen 

 Indices oder sonstigen Merkzeichen versehen werden, die Determi- 

 nante der Form xy gleich Eins, aber die von x'y gleich Null. 

 Wie man nämlich in der Theorie homogener Formen überhaupt 

 von einer bestimmten Reihe von Variabein ausgehen muss, so ist 

 bei der specielleren Behandlung der bilinearen Formen ein voll- 

 ständiges System von zwei Reihen einander gegenseitig 

 entsprechender Variabein zu Grunde zu legen. Zuvörderst 

 können freilich die bilinearen Functionen als quadratische Formen 

 der sämmtlichen ungetrennten Variabein beider Reihen angesehen 

 werden, und in der allgemeineren Theorie derselben, welcher 

 sich bisher die Untersuchung fast ausschliesslich zugewendet hat, 

 kommt eben nur die Sonderung der beiden Reihen von Veränder- 

 lichen, nicht aber die gegenseitige Correspondenz der einzelnen 

 Variabein in Betracht. Geht man aber von einem zweitheiligen 

 Variabeinsystem 



Y t Y ir Y nt 



aus, in welchem die unter einander stehenden Veränderlichen die 

 correspondirenden sind, so hat man unter der Determinante einer 

 bilinearen Function 



g(y',y", ... ; ?, t>", ...) 

 die Determinante 



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A 2 JL| ,x = i',f,f, ...v 



zu verstehen, auch dann, wenn irgend welche von den Veränder- 

 lichen r. , \) in § gar nicht vorkommen. Da nun andrerseits für 

 die Theorie der bilinearen Formen auch die Determinante derjeni- 



