﻿412 Nachtrag. 



Wie die vorstehenden Entwickelungen zeigen, lässt sich in 

 der That jede bilineare Form (/) mittels congruenter Transforma- 

 tion in eine solche (f) verwandeln, deren Discriminante von Null 

 verschieden ist. Die Anzahl der Variabein in einer solchen Trans- 

 formirten ist für beide Reihen gleich gross, und wie man auch jene 

 Transformation bewirken mag, es ändert sich dabei weder die Ge- 

 sammtanzahl der Variabein noch auch die Anzahl der Paare von cor- 

 respondirenden. Bezeichnet man, wie oben, die Anzahl dieser Paare 

 m \t n —m und die Anzahl derjenigen Variabein der einen Reihe, 

 denen keine der andern correspondirt, mit m, so ist ferner n-\-m 

 die Minimal- Anzahl der Glieder eines vollständigen Systems von 

 Variabeln-Paaren für die sämmtlichen bilinearen Formen, welche 

 aus der Form (/) durch congruente Transformation hervorgehen. 

 Die Zahl m kann hierbei nur gleich 0, 1, ... n sein. 



II. Wenn man unter / und /' zwei mit einander conjugirte 

 bilineare Formen versteht, deren Determinante von Null ver- 

 schieden ist, und 



setzt, so ist 



/ = cp x + -l/ x und / = afi -+- b\ x . 



Je nachdem also die Determinante der Schaar bilinearer Formen 



uf+vf 

 irgend einen Linearfactor u±v hat oder einen Factor av-hbu, 

 für welchen a 2 ^b 2 ist, kann/ als ein Aggregat einer symmetri- 

 schen und einer alternirenden Form so dargestellt werden, dass 

 die Determinante der einen dieser beiden Formen gleich Null ist, 

 oder als ein Aggregat von zwei conjugirten Formen, deren Deter- 

 minante verschwindet. Wenn nun die Form f x oder resp. diejenige 

 der Formen y x ,^i, deren Determinante gleich Null ist, durch 

 congruente Substitution in eine Form f oder resp. cp , -l verwan- 

 delt wird, deren Discriminante von Null verschieden ist, so 

 kommt nach Einführung der neuen Variabein in f oder resp. in 



/=(£-]- 4/ oder /= a] -f- b\ ; 



und im ersten Falle enthält die eine der beiden Formen cp und ^ 

 Variabein, die in der andern nicht vorkommen, im zweiten Falle 

 enthält jede der beiden conjugirten Formen f,f Variabein, deren 

 correspondirende darin fehlen. 



